Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x}}{x^{2}}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2^{x}}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Étape 1.2

Comme l’exposant $x$ approche de $\infty$ , la quantité $2^{x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Étape 1.3

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x}}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} \ln (2)}{2 x}$

Étape 4

Annulez le facteur commun à $2^{x}$ et $2$ .

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Étape 4.1

Factorisez $2$ à partir de $2^{x} \ln (2)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2^{x - 1} \ln (2))}{2 x}$

Étape 4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2^{x - 1} \ln (2))}{2 (x)}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2^{x - 1} \ln (2))}{2 x}$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln (2)}{x}$

Étape 5

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 5.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2^{x - 1} \ln (2)}{lim_{x \to \infty} x}$

Étape 5.1.2

Comme la fonction $2^{x - 1}$ approche de $\infty$ , la constante positive $\ln (2)$ fois la fraction approche également de $\infty$ .

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Étape 5.1.2.1

Étudiez la limite avec le multiple constant $\ln (2)$ retiré.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2^{x - 1}}{lim_{x \to \infty} x}$

Étape 5.1.2.2

Comme l’exposant $x - 1$ approche de $\infty$ , la quantité $2^{x - 1}$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

Étape 5.1.3

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 5.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln (2)}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x - 1} \ln (2)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 5.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2^{x - 1} \ln (2)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.2

Comme $\ln (2)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2^{x - 1} \ln (2)$ par rapport à $x$ est $\ln (2) \frac{d}{d x} [2^{x - 1}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2) \frac{d}{d x} [2^{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = 2^{x}$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 5.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2) (\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [x - 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2) (2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [x - 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2) (2^{x - 1} \ln (2) \frac{d}{d x} [x - 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.4

Élevez $\ln (2)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} (\ln^{1} (2) \ln (2)) \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.5

Élevez $\ln (2)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} (\ln^{1} (2) \ln^{1} (2)) \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} {\ln (2)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.11

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.12

Multipliez $2^{x - 1}$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 1} \ln^{2} (2)}{1}$

Étape 5.4

Divisez $2^{x - 1} \ln^{2} (2)$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} 2^{x - 1} \ln^{2} (2)$

Étape 6

Comme la fonction $2^{x - 1}$ approche de $\infty$ , la constante positive $\ln^{2} (2)$ fois la fraction approche également de $\infty$ .

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Étape 6.1

Étudiez la limite avec le multiple constant $\ln^{2} (2)$ retiré.

$lim_{x \to \infty} 2^{x - 1}$

Étape 6.2

Comme l’exposant $x - 1$ approche de $\infty$ , la quantité $2^{x - 1}$ approche de $\infty$ .

$\infty$