Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - x - \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \ln (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 1.1.3.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 1 - \frac{1}{x}$

Étape 1.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 2 x - \frac{1}{x} - 1$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x - \frac{1}{x} - 1$ .

$2 x - \frac{1}{x} - 1$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$

Étape 2.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x, 1, 1$

Étape 2.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x$

Étape 2.3

Multiplier chaque terme dans $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ par $x$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Multipliez chaque terme dans $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ par $x$ .

$2 x \cdot x - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.1.1

Déplacez $x$ .

$2 (x \cdot x) - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Étape 2.3.2.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{2} - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Étape 2.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x}$ dans le numérateur.

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

Étape 2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

Étape 2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 x^{2} - 1 - x = 0 x$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Multipliez $0$ par $x$ .

$2 x^{2} - 1 - x = 0$

Étape 2.4

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Factorisez par regroupement.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x^{2} - x - 1 = 0$

Étape 2.4.1.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ et dont la somme est $b = - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$2 x^{2} - (x) - 1 = 0$

Étape 2.4.1.2.2

Réécrivez $- 1$ comme $1$ plus $- 2$

$2 x^{2} + (1 - 2) x - 1 = 0$

Étape 2.4.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1 = 0$

Étape 2.4.1.2.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$2 x^{2} + x - 2 x - 1 = 0$

Étape 2.4.1.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 x^{2} + x) - 2 x - 1 = 0$

Étape 2.4.1.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (2 x + 1) - (2 x + 1) = 0$

Étape 2.4.1.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 2.4.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 2.4.3

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.1

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Étape 2.4.3.2

Résolvez $2 x + 1 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 1$

Étape 2.4.3.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.4.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.4.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.4.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 2.4.4

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.4.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.4.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.4.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x + 1) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{2}, 1$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $- \frac{1}{2}, 1$ .

$- \frac{1}{2}, 1$

Étape 4

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 6

Excluez les intervalles qui ne sont pas dans le domaine.

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 0.5, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.25$ dans l’expression.

$f' (- 0.25) = 2 (- 0.25) - \frac{1}{- 0.25} - 1$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 0.25$ .

$f' (- 0.25) = - 0.5 - \frac{1}{- 0.25} - 1$

Étape 7.2.1.2

Divisez $1$ par $- 0.25$ .

$f' (- 0.25) = - 0.5 + 4 - 1$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$f' (- 0.25) = - 0.5 + 4 - 1$

Étape 7.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Additionnez $- 0.5$ et $4$ .

$f' (- 0.25) = 3.5 - 1$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $1$ de $3.5$ .

$f' (- 0.25) = 2.5$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $2.5$ .

$2.5$

Étape 8

Excluez les intervalles qui ne sont pas dans le domaine.

$(0, 1)$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 1)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{1}{2}$ dans l’expression.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2}) - \frac{1}{\frac{1}{2}} - 1$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2}) - \frac{1}{\frac{1}{2}} - 1$

Étape 9.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{\frac{1}{2}} - 1$

Étape 9.2.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - (1 \cdot 2) - 1$

Étape 9.2.1.3

Multipliez $- (1 \cdot 2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - 1 \cdot 2 - 1$

Étape 9.2.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - 2 - 1$

Étape 9.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.1

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 1 - 1$

Étape 9.2.2.2

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 2$

Étape 9.2.3

La réponse finale est $- 2$ .

$- 2$

Étape 9.3

Sur $x = \frac{1}{2}$ la dérivée est $- 2$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(0, 1)$ .

Diminue sur $(0, 1)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 10

Excluez les intervalles qui ne sont pas dans le domaine.

$(0, 1), (1, \infty)$

Étape 11

Remplacez une valeur de l’intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = 2 (2) - \frac{1}{2} - 1$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$f' (2) = 4 - \frac{1}{2} - 1$

Étape 11.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.1

Écrivez $4$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f' (2) = \frac{4}{1} - \frac{1}{2} - 1$

Étape 11.2.2.2

Multipliez $\frac{4}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f' (2) = \frac{4}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} - 1$

Étape 11.2.2.3

Multipliez $\frac{4}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} - 1$

Étape 11.2.2.4

Écrivez $- 1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{1}$

Étape 11.2.2.5

Multipliez $\frac{- 1}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 11.2.2.6

Multipliez $\frac{- 1}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Étape 11.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2 - 1 - 1 \cdot 2}{2}$

Étape 11.2.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.4.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$f' (2) = \frac{8 - 1 - 1 \cdot 2}{2}$

Étape 11.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (2) = \frac{8 - 1 - 2}{2}$

Étape 11.2.5

Simplifiez en soustrayant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.5.1

Soustrayez $1$ de $8$ .

$f' (2) = \frac{7 - 2}{2}$

Étape 11.2.5.2

Soustrayez $2$ de $7$ .

$f' (2) = \frac{5}{2}$

Étape 11.2.6

La réponse finale est $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2}$

Étape 11.3

Sur $x = 2$ la dérivée est $\frac{5}{2}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(1, \infty)$ .

Augmente sur $(1, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 12

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(1, \infty)$

Diminue sur : $(0, 1)$

Étape 13