Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \cos (\frac{4 x}{3})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \frac{4 x}{3}$ .

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Étape 1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{4 x}{3}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{3}]$

Étape 1.1.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{3}]$

Étape 1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{4 x}{3}$ .

$- \sin (\frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{3}]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Comme $\frac{4}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 x}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{4 x}{3}) (\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.2.2

Associez $\frac{4}{3}$ et $\sin (\frac{4 x}{3})$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} \cdot 1$

Étape 1.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = - \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 \sin (\frac{4 x}{3}) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $4 \sin (\frac{4 x}{3}) = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1.1

Divisez chaque terme dans $4 \sin (\frac{4 x}{3}) = 0$ par $4$ .

$\frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 2.3.1.2.1.2

Divisez $\sin (\frac{4 x}{3})$ par $1$ .

$\sin (\frac{4 x}{3}) = \frac{0}{4}$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$\sin (\frac{4 x}{3}) = 0$

Étape 2.3.2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$\frac{4 x}{3} = \arcsin (0)$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$\frac{4 x}{3} = 0$

Étape 2.3.4

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 x = 0$

Étape 2.3.5

Divisez chaque terme dans $4 x = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.3.5.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 0$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.5.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 2.3.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Étape 2.3.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.5.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$x = 0$

Étape 2.3.6

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$\frac{4 x}{3} = π - 0$

Étape 2.3.7

Résolvez $x$ .

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Étape 2.3.7.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 x}{3} = \frac{3}{4} (π - 0)$

Étape 2.3.7.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 2.3.7.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.7.2.1.1

Simplifiez $\frac{3}{4} \cdot \frac{4 x}{3}$ .

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Étape 2.3.7.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.7.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 x}{3} = \frac{3}{4} (π - 0)$

Étape 2.3.7.2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} (4 x) = \frac{3}{4} (π - 0)$

Étape 2.3.7.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.3.7.2.1.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$\frac{1}{4} (4 (x)) = \frac{3}{4} (π - 0)$

Étape 2.3.7.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} (4 x) = \frac{3}{4} (π - 0)$

Étape 2.3.7.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{3}{4} (π - 0)$

Étape 2.3.7.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.7.2.2.1

Simplifiez $\frac{3}{4} (π - 0)$ .

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Étape 2.3.7.2.2.1.1

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = \frac{3}{4} π$

Étape 2.3.7.2.2.1.2

Associez $\frac{3}{4}$ et $π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 2.3.8

Déterminez la période de $\sin (\frac{4 x}{3})$ .

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Étape 2.3.8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.3.8.2

Remplacez $b$ par $\frac{4}{3}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{4}{3} |}$

Étape 2.3.8.3

$\frac{4}{3}$ est d’environ $1.\overline{3}$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{4}{3}}$

Étape 2.3.8.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \frac{3}{4}$

Étape 2.3.8.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.8.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$2 (π) \frac{3}{4}$

Étape 2.3.8.5.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 (π) \frac{3}{2 (2)}$

Étape 2.3.8.5.3

Annulez le facteur commun.

$2 π \frac{3}{2 \cdot 2}$

Étape 2.3.8.5.4

Réécrivez l’expression.

$π \frac{3}{2}$

Étape 2.3.8.6

Associez $π$ et $\frac{3}{2}$ .

$\frac{π \cdot 3}{2}$

Étape 2.3.8.7

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Étape 2.3.9

La période de la fonction $\sin (\frac{4 x}{3})$ est $\frac{3 π}{2}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{3 π}{2}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π n}{2}, \frac{3 π}{4} + \frac{3 π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 2.4

Consolidez les réponses.

$x = \frac{3 π n}{4}$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $\frac{3 π n}{4}$ .

$\frac{3 π n}{4}$

Étape 4

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = - \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = \cos (\frac{4 x}{3})$ augmente et diminue est $(- \infty, \frac{3 π n}{4}) \cup (\frac{3 π n}{4}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{3 π n}{4}) \cup (\frac{3 π n}{4}, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, \frac{3 π n}{4})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π n}{4} - 1$ dans l’expression.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} - 1)}{3})}{3}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4})}{3})}{3}$

Étape 5.2.1.2

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4})}{3})}{3}$

Étape 5.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n - 1 \cdot 4}{4})}{3})}{3}$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n - 4}{4})}{3})}{3}$

Étape 5.2.2

Associez $4$ et $\frac{3 π n - 4}{4}$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n - 4)}{4}}{3})}{3}$

Étape 5.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1

Réduisez l’expression $\frac{4 (3 π n - 4)}{4}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n - 4)}{4}}{3})}{3}$

Étape 5.2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{3 π n - 4}{1}}{3})}{3}$

Étape 5.2.3.2

Divisez $3 π n - 4$ par $1$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$

Étape 5.2.4

La réponse finale est $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$

Étape 5.3

Sur $x = \frac{3 π n}{4} - 1$ la dérivée est $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, \frac{3 π n}{4})$ .

Diminue sur $(- \infty, \frac{3 π n}{4})$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{3 π n}{4}, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{3 π n}{4} + 1$ dans l’expression.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} + 1)}{3})}{3}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} + \frac{4}{4})}{3})}{3}$

Étape 6.2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n + 4}{4})}{3})}{3}$

Étape 6.2.2

Associez $4$ et $\frac{3 π n + 4}{4}$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n + 4)}{4}}{3})}{3}$

Étape 6.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.1

Réduisez l’expression $\frac{4 (3 π n + 4)}{4}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n + 4)}{4}}{3})}{3}$

Étape 6.2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{3 π n + 4}{1}}{3})}{3}$

Étape 6.2.3.2

Divisez $3 π n + 4$ par $1$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$

Étape 6.3

Sur $x = \frac{3 π n}{4} + 1$ la dérivée est $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(\frac{3 π n}{4}, \infty)$ .

Diminue sur $(\frac{3 π n}{4}, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Diminue sur : $(- \infty, \frac{3 π n}{4}), (\frac{3 π n}{4}, \infty)$

Étape 8