Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{4} - 20 x^{3} + 42 x^{2} - 36 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{4} - 20 x^{3} + 42 x^{2} - 36 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 20 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} - 20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$12 x^{3} - 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 20$ .

$12 x^{3} - 60 x^{2} + \frac{d}{d x} [42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [42 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $42$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $42 x^{2}$ par rapport à $x$ est $42 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} - 60 x^{2} + 42 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 x^{3} - 60 x^{2} + 42 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $2$ par $42$ .

$12 x^{3} - 60 x^{2} + 84 x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Étape 1.1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

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Étape 1.1.5.1

Comme $- 36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 36 x$ par rapport à $x$ est $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{3} - 60 x^{2} + 84 x - 36 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 x^{3} - 60 x^{2} + 84 x - 36 \cdot 1$

Étape 1.1.5.3

Multipliez $- 36$ par $1$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 60 x^{2} + 84 x - 36$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{3} - 60 x^{2} + 84 x - 36$ .

$12 x^{3} - 60 x^{2} + 84 x - 36$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{3} - 60 x^{2} + 84 x - 36 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$12 x^{3} - 60 x^{2} + 84 x - 36 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{3} - 60 x^{2} + 84 x - 36$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{3}$ .

$12 (x^{3}) - 60 x^{2} + 84 x - 36 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $12$ à partir de $- 60 x^{2}$ .

$12 (x^{3}) + 12 (- 5 x^{2}) + 84 x - 36 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $12$ à partir de $84 x$ .

$12 (x^{3}) + 12 (- 5 x^{2}) + 12 (7 x) - 36 = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $12$ à partir de $- 36$ .

$12 x^{3} + 12 (- 5 x^{2}) + 12 (7 x) + 12 \cdot - 3 = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{3} + 12 (- 5 x^{2})$ .

$12 (x^{3} - 5 x^{2}) + 12 (7 x) + 12 \cdot - 3 = 0$

Étape 2.2.1.6

Factorisez $12$ à partir de $12 (x^{3} - 5 x^{2}) + 12 (7 x)$ .

$12 (x^{3} - 5 x^{2} + 7 x) + 12 \cdot - 3 = 0$

Étape 2.2.1.7

Factorisez $12$ à partir de $12 (x^{3} - 5 x^{2} + 7 x) + 12 \cdot - 3$ .

$12 (x^{3} - 5 x^{2} + 7 x - 3) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $x^{3} - 5 x^{2} + 7 x - 3$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.2.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

Étape 2.2.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 3$

Étape 2.2.2.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.2.2.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$1^{3} - 5 \cdot 1^{2} + 7 \cdot 1 - 3$

Étape 2.2.2.3.2

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$1 - 5 \cdot 1^{2} + 7 \cdot 1 - 3$

Étape 2.2.2.3.3

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$1 - 5 \cdot 1 + 7 \cdot 1 - 3$

Étape 2.2.2.3.4

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$1 - 5 + 7 \cdot 1 - 3$

Étape 2.2.2.3.5

Soustrayez $5$ de $1$ .

$- 4 + 7 \cdot 1 - 3$

Étape 2.2.2.3.6

Multipliez $7$ par $1$ .

$- 4 + 7 - 3$

Étape 2.2.2.3.7

Additionnez $- 4$ et $7$ .

$3 - 3$

Étape 2.2.2.3.8

Soustrayez $3$ de $3$ .

$0$

Étape 2.2.2.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 7 x - 3}{x - 1}$

Étape 2.2.2.5

Divisez $x^{3} - 5 x^{2} + 7 x - 3$ par $x - 1$ .

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Étape 2.2.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$7 x$

$3$

Étape 2.2.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$

Étape 2.2.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 2.2.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 2.2.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Étape 2.2.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$7 x$

Étape 2.2.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 4 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$7 x$

Étape 2.2.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Étape 2.2.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 4 x^{2} + 4 x$

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Étape 2.2.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$3 x$

Étape 2.2.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$3 x$	-	$3$

Étape 2.2.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$3 x$	-	$3$

Étape 2.2.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$3 x$	-	$3$
							+	$3 x$	-	$3$

Étape 2.2.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x - 3$

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$3 x$	-	$3$
							-	$3 x$	+	$3$

Étape 2.2.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$3$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$3 x$	-	$3$
							-	$3 x$	+	$3$
										$0$

Étape 2.2.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 4 x + 3$

Étape 2.2.2.6

Écrivez $x^{3} - 5 x^{2} + 7 x - 3$ comme un ensemble de facteurs.

$12 ((x - 1) (x^{2} - 4 x + 3)) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez.

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Étape 2.2.3.1

Factorisez $x^{2} - 4 x + 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.3.1.1

Factorisez $x^{2} - 4 x + 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.3.1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $3$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 3, - 1$

Étape 2.2.3.1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$12 ((x - 1) ((x - 3) (x - 1))) = 0$

Étape 2.2.3.1.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$12 ((x - 1) (x - 3) (x - 1)) = 0$

Étape 2.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$12 (x - 1) (x - 3) (x - 1) = 0$

Étape 2.2.4

Associez les exposants.

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Étape 2.2.4.1

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$12 ((x - 1) (x - 1)) (x - 3) = 0$

Étape 2.2.4.2

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$12 ((x - 1) (x - 1)) (x - 3) = 0$

Étape 2.2.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 {(x - 1)}^{1 + 1} (x - 3) = 0$

Étape 2.2.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$12 {(x - 1)}^{2} (x - 3) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 2.4

Définissez ${(x - 1)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez ${(x - 1)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez ${(x - 1)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.4.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.5

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $12 {(x - 1)}^{2} (x - 3) = 0$ vraie.

$x = 1, 3$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $1, 3$ .

$1, 3$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 1) \cup (1, 3) \cup (3, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 1)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = 12 {(0)}^{3} - 60 {(0)}^{2} + 84 (0) - 36$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = 12 \cdot 0 - 60 {(0)}^{2} + 84 (0) - 36$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $12$ par $0$ .

$f' (0) = 0 - 60 {(0)}^{2} + 84 (0) - 36$

Étape 5.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = 0 - 60 \cdot 0 + 84 (0) - 36$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $- 60$ par $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 84 (0) - 36$

Étape 5.2.1.5

Multipliez $84$ par $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 0 - 36$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 36$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f' (0) = 0 - 36$

Étape 5.2.2.3

Soustrayez $36$ de $0$ .

$f' (0) = - 36$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 36$ .

$- 36$

Étape 5.3

Sur $x = 0$ la dérivée est $- 36$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, 1)$ .

Diminue sur $(- \infty, 1)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(1, 3)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = 12 {(2)}^{3} - 60 {(2)}^{2} + 84 (2) - 36$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f' (2) = 12 \cdot 8 - 60 {(2)}^{2} + 84 (2) - 36$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $12$ par $8$ .

$f' (2) = 96 - 60 {(2)}^{2} + 84 (2) - 36$

Étape 6.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (2) = 96 - 60 \cdot 4 + 84 (2) - 36$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- 60$ par $4$ .

$f' (2) = 96 - 240 + 84 (2) - 36$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $84$ par $2$ .

$f' (2) = 96 - 240 + 168 - 36$

Étape 6.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $240$ de $96$ .

$f' (2) = - 144 + 168 - 36$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $- 144$ et $168$ .

$f' (2) = 24 - 36$

Étape 6.2.2.3

Soustrayez $36$ de $24$ .

$f' (2) = - 12$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 12$ .

$- 12$

Étape 6.3

Sur $x = 2$ la dérivée est $- 12$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(1, 3)$ .

Diminue sur $(1, 3)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(3, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = 12 {(4)}^{3} - 60 {(4)}^{2} + 84 (4) - 36$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$f' (4) = 12 \cdot 64 - 60 {(4)}^{2} + 84 (4) - 36$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $12$ par $64$ .

$f' (4) = 768 - 60 {(4)}^{2} + 84 (4) - 36$

Étape 7.2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f' (4) = 768 - 60 \cdot 16 + 84 (4) - 36$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $- 60$ par $16$ .

$f' (4) = 768 - 960 + 84 (4) - 36$

Étape 7.2.1.5

Multipliez $84$ par $4$ .

$f' (4) = 768 - 960 + 336 - 36$

Étape 7.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 7.2.2.1

Soustrayez $960$ de $768$ .

$f' (4) = - 192 + 336 - 36$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $- 192$ et $336$ .

$f' (4) = 144 - 36$

Étape 7.2.2.3

Soustrayez $36$ de $144$ .

$f' (4) = 108$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $108$ .

$108$

Étape 7.3

Sur $x = 4$ la dérivée est $108$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(3, \infty)$ .

Augmente sur $(3, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(3, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, 1), (1, 3)$

Étape 9