Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1.1.1

Comme $20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ par rapport à $x$ est $20 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 9 e^{- 3 x}}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 9 e^{- 3 x}}]$

Étape 1.1.1.2

Réécrivez $\frac{1}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ comme ${(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 1}$ .

$20 \frac{d}{d x} [{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 1}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = 1 + 9 e^{- 3 x}$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $1 + 9 e^{- 3 x}$ .

$20 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + 9 e^{- 3 x}])$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$20 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 9 e^{- 3 x}])$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 + 9 e^{- 3 x}$ .

$20 (- {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 9 e^{- 3 x}])$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $20$ .

$- 20 ({(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 9 e^{- 3 x}])$

Étape 1.1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 9 e^{- 3 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}]$ .

$- 20 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}])$

Étape 1.1.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 20 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}])$

Étape 1.1.3.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}]$ .

$- 20 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [9 e^{- 3 x}]$

Étape 1.1.3.5

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 e^{- 3 x}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ .

$- 20 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (9 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}])$

Étape 1.1.3.6

Multipliez $9$ par $- 20$ .

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 3 x$ .

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Étape 1.1.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- 3 x$ .

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Étape 1.1.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- 3 x$ .

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Étape 1.1.5

Différenciez.

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Étape 1.1.5.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 180 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.1.5.2

Multipliez $- 3$ par $- 180$ .

$540 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{- 3 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.1.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$540 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} (e^{- 3 x} \cdot 1)$

Étape 1.1.5.4

Multipliez $e^{- 3 x}$ par $1$ .

$540 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} e^{- 3 x}$

Étape 1.1.6

Simplifiez

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Étape 1.1.6.1

Réorganisez les facteurs de $540 {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2} e^{- 3 x}$ .

$540 e^{- 3 x} {(1 + 9 e^{- 3 x})}^{- 2}$

Étape 1.1.6.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$540 e^{- 3 x} \frac{1}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$

Étape 1.1.6.3

Multipliez $540 e^{- 3 x} \frac{1}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ .

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Étape 1.1.6.3.1

Associez $\frac{1}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ et $540$ .

$\frac{540}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}} e^{- 3 x}$

Étape 1.1.6.3.2

Associez $\frac{540}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ et $e^{- 3 x}$ .

$f' (x) = \frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ .

$\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$540 e^{- 3 x} = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (540 e^{- 3 x}) = \ln (0)$

Étape 2.3.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.3.3

Il n’y a pas de solution pour $540 e^{- 3 x} = 0$

Aucune solution

Étape 3

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé

Étape 4

Aucun point ne rend la dérivée $f' (x) = \frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ égale à $0$ ni indéfinie. L’intervalle pour vérifier si $f (x) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ est croissant ou décroissant est $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre, tel que $1$ , de l’intervalle $(- \infty, \infty)$ dans la dérivée $f' (x) = \frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif. Si le résultat est négatif, le graphe est décroissant sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ . Si le résultat est positif, le graphe est croissant sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = \frac{540 e^{- 3 \cdot 1}}{{(1 + 9 e^{- 3 \cdot 1})}^{2}}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Placez $e^{- 3 \cdot 1}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = \frac{540}{{(1 + 9 e^{- 3})}^{2} e^{3}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1) = \frac{540}{{(1 + 9 (\frac{1}{e^{3}}))}^{2} e^{3}}$

Étape 5.2.2.2

Associez $9$ et $\frac{1}{e^{3}}$ .

$f' (1) = \frac{540}{{(1 + \frac{9}{e^{3}})}^{2} e^{3}}$

Étape 5.2.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f' (1) = \frac{540}{{(\frac{e^{3}}{e^{3}} + \frac{9}{e^{3}})}^{2} e^{3}}$

Étape 5.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (1) = \frac{540}{{(\frac{e^{3} + 9}{e^{3}})}^{2} e^{3}}$

Étape 5.2.2.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{e^{3} + 9}{e^{3}}$ .

$f' (1) = \frac{540}{\frac{{(e^{3} + 9)}^{2}}{{(e^{3})}^{2}} \cdot e^{3}}$

Étape 5.2.2.6

Multipliez les exposants dans ${(e^{3})}^{2}$ .

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Étape 5.2.2.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (1) = \frac{540}{\frac{{(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{3 \cdot 2}} \cdot e^{3}}$

Étape 5.2.2.6.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f' (1) = \frac{540}{\frac{{(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{6}} \cdot e^{3}}$

Étape 5.2.3

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.3.1

Associez $\frac{{(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{6}}$ et $e^{3}$ .

$f' (1) = \frac{540}{\frac{{(e^{3} + 9)}^{2} e^{3}}{e^{6}}}$

Étape 5.2.3.2

Réduisez l’expression $\frac{{(e^{3} + 9)}^{2} e^{3}}{e^{6}}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.2.1

Factorisez $e^{3}$ à partir de ${(e^{3} + 9)}^{2} e^{3}$ .

$f' (1) = \frac{540}{\frac{e^{3} {(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{6}}}$

Étape 5.2.3.2.2

Factorisez $e^{3}$ à partir de $e^{6}$ .

$f' (1) = \frac{540}{\frac{e^{3} {(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{3} e^{3}}}$

Étape 5.2.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$f' (1) = \frac{540}{\frac{e^{3} {(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{3} e^{3}}}$

Étape 5.2.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$f' (1) = \frac{540}{\frac{{(e^{3} + 9)}^{2}}{e^{3}}}$

Étape 5.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f' (1) = 540 (\frac{e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}})$

Étape 5.2.5

Associez $540$ et $\frac{e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}}$ .

$f' (1) = \frac{540 e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}}$

Étape 5.2.6

La réponse finale est $\frac{540 e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}}$ .

$\frac{540 e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}}$

Étape 6

Le résultat du remplacement de $1$ dans $f' (x) = \frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}}$ est $\frac{540 e^{3}}{{(e^{3} + 9)}^{2}}$ , qui est positif, si bien que le graphe est croissant sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ .

Augmente sur $(- \infty, \infty)$ depuis $\frac{540 e^{- 3 x}}{{(1 + 9 e^{- 3 x})}^{2}} > 0$

Étape 7

Augmente sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ signifie que la fonction est toujours croissante.

Toujours croissant

Étape 8