Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{20 - x - x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{20 - x - x^{2}}$ comme ${(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 20 - x - x^{2}$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $20 - x - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $20 - x - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Étape 1.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Étape 1.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Étape 1.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Étape 1.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Étape 1.1.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Étape 1.1.7

Associez les fractions.

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Étape 1.1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(20 - x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Étape 1.1.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(20 - x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(20 - x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Étape 1.1.7.3

Placez ${(20 - x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [20 - x - x^{2}]$

Étape 1.1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $20 - x - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 1.1.9

Comme $20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $20$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 1.1.10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 1.1.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 1.1.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 1.1.13

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 1.1.14

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.1.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 - (2 x))$

Étape 1.1.16

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 - 2 x)$

Étape 1.1.17

Simplifiez

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Étape 1.1.17.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 1 - 2 x)$ .

$(- 1 - 2 x) \frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.17.2

Multipliez $- 1 - 2 x$ par $\frac{1}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 1 - 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.17.3

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.17.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{- 1 (1) - (2 x)}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.17.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (2 x)$ .

$\frac{- 1 (1 + 2 x)}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.17.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{1 + 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{1 + 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1 + 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{1 + 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{1 + 2 x}{2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 + 2 x = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 1$

Étape 2.3.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Étape 4

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 4.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 4.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$- \frac{1 + 2 x}{2 \sqrt{{(20 - x - x^{2})}^{1}}}$

Étape 4.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$- \frac{1 + 2 x}{2 \sqrt{20 - x - x^{2}}}$

Étape 4.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{1 + 2 x}{2 \sqrt{20 - x - x^{2}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 \sqrt{20 - x - x^{2}} = 0$

Étape 4.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 \sqrt{20 - x - x^{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 4.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 4.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{20 - x - x^{2}}$ comme ${(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.2.1

Simplifiez ${(2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {({(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 {(20 - x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 {(20 - x - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2.1.4

Simplifiez

$4 (20 - x - x^{2}) = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$4 \cdot 20 + 4 (- x) + 4 (- x^{2}) = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2.1.6

Simplifiez

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Étape 4.3.2.2.1.6.1

Multipliez $4$ par $20$ .

$80 + 4 (- x) + 4 (- x^{2}) = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2.1.6.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$80 - 4 x + 4 (- x^{2}) = 0^{2}$

Étape 4.3.2.2.1.6.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$80 - 4 x - 4 x^{2} = 0^{2}$

Étape 4.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$80 - 4 x - 4 x^{2} = 0$

Étape 4.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.3.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.3.3.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de $80 - 4 x - 4 x^{2}$ .

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Étape 4.3.3.1.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 4.3.3.1.1.1.1

Déplacez $80$ .

$- 4 x - 4 x^{2} + 80 = 0$

Étape 4.3.3.1.1.1.2

Remettez dans l’ordre $- 4 x$ et $- 4 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} - 4 x + 80 = 0$

Étape 4.3.3.1.1.2

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} - 4 x + 80 = 0$

Étape 4.3.3.1.1.3

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 x$ .

$- 4 x^{2} - 4 x + 80 = 0$

Étape 4.3.3.1.1.4

Factorisez $- 4$ à partir de $80$ .

$- 4 x^{2} - 4 x - 4 \cdot - 20 = 0$

Étape 4.3.3.1.1.5

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 (x^{2}) - 4 (x)$ .

$- 4 (x^{2} + x) - 4 \cdot - 20 = 0$

Étape 4.3.3.1.1.6

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 (x^{2} + x) - 4 (- 20)$ .

$- 4 (x^{2} + x - 20) = 0$

Étape 4.3.3.1.2

Factorisez.

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Étape 4.3.3.1.2.1

Factorisez $x^{2} + x - 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.3.3.1.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 20$ et dont la somme est $1$ .

$- 4, 5$

Étape 4.3.3.1.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- 4 ((x - 4) (x + 5)) = 0$

Étape 4.3.3.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 4 (x - 4) (x + 5) = 0$

Étape 4.3.3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 4.3.3.3

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.3.3.3.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 4.3.3.3.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 4.3.3.4

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.3.3.4.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 4.3.3.4.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 4.3.3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 4 (x - 4) (x + 5) = 0$ vraie.

$x = 4, - 5$

Étape 4.4

Définissez le radicande dans $\sqrt{20 - x - x^{2}}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$20 - x - x^{2} < 0$

Étape 4.5

Résolvez $x$ .

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Étape 4.5.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$20 - x - x^{2} = 0$

Étape 4.5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.5.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $20 - x - x^{2}$ .

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Étape 4.5.2.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 4.5.2.1.1.1

Déplacez $20$ .

$- x - x^{2} + 20 = 0$

Étape 4.5.2.1.1.2

Remettez dans l’ordre $- x$ et $- x^{2}$ .

$- x^{2} - x + 20 = 0$

Étape 4.5.2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - x + 20 = 0$

Étape 4.5.2.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$- (x^{2}) - (x) + 20 = 0$

Étape 4.5.2.1.4

Réécrivez $20$ comme $- 1 (- 20)$ .

$- (x^{2}) - (x) - 1 \cdot - 20 = 0$

Étape 4.5.2.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (x)$ .

$- (x^{2} + x) - 1 \cdot - 20 = 0$

Étape 4.5.2.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} + x) - 1 (- 20)$ .

$- (x^{2} + x - 20) = 0$

Étape 4.5.2.2

Factorisez.

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Étape 4.5.2.2.1

Factorisez $x^{2} + x - 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.5.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 20$ et dont la somme est $1$ .

$- 4, 5$

Étape 4.5.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((x - 4) (x + 5)) = 0$

Étape 4.5.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x - 4) (x + 5) = 0$

Étape 4.5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 4.5.4

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.5.4.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 4.5.4.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 4.5.5

Définissez $x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.5.5.1

Définissez $x + 5$ égal à $0$ .

$x + 5 = 0$

Étape 4.5.5.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 4.5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (x - 4) (x + 5) = 0$ vraie.

$x = 4, - 5$

Étape 4.5.7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 5$

$- 5 < x < 4$

$x > 4$

Étape 4.5.8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 4.5.8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 4.5.8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 4.5.8.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$20 - (- 8) - {(- 8)}^{2} < 0$

Étape 4.5.8.1.3

Le côté gauche $- 36$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 4.5.8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 4.5.8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 4.5.8.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$20 - (0) - {(0)}^{2} < 0$

Étape 4.5.8.2.3

Le côté gauche $20$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 4.5.8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 4.5.8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 4.5.8.3.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$20 - (6) - {(6)}^{2} < 0$

Étape 4.5.8.3.3

Le côté gauche $- 22$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 4.5.8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 5$ Vrai

$- 5 < x < 4$ Faux

$x > 4$ Vrai

$x < - 5$ Vrai

$- 5 < x < 4$ Faux

$x > 4$ Vrai

Étape 4.5.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 5$ ou $x > 4$

Étape 4.6

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq - 5, x \geq 4$

$(- \infty, - 5] \cup [4, \infty)$

$x \leq - 5, x \geq 4$

$(- \infty, - 5] \cup [4, \infty)$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, 4) \cup (4, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 5)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 6$ dans l’expression.

$f' (- 6) = - \frac{1 + 2 (- 6)}{2 {(20 - (- 6) - {(- 6)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$f' (- 6) = - \frac{1 - 12}{2 {(20 - (- 6) - {(- 6)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2.1.2

Soustrayez $12$ de $1$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(20 - (- 6) - {(- 6)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(20 + 6 - {(- 6)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2.2.1.2

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(20 + 6 - 1 \cdot 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $36$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(20 + 6 - 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $20$ et $6$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(26 - 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2.2.3

Soustrayez $36$ de $26$ .

$f' (- 6) = - \frac{- 11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 6) = \frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $\frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.3

Sur $x = - 6$ la dérivée est $\frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, - 5)$ .

Diminue sur $(- \infty, - 5)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 5, - \frac{1}{2})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2.75$ dans l’expression.

$f' (- 2.75) = - \frac{1 + 2 (- 2.75)}{2 {(20 - (- 2.75) - {(- 2.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 2.75$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{1 - 5.5}{2 {(20 - (- 2.75) - {(- 2.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.2.1.2

Soustrayez $5.5$ de $1$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 {(20 - (- 2.75) - {(- 2.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 2.75$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 {(20 + 2.75 - {(- 2.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.2.2.1.2

Élevez $- 2.75$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 {(20 + 2.75 - 1 \cdot 7.5625)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.2.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $7.5625$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 {(20 + 2.75 - 7.5625)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $20$ et $2.75$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 {(22.75 - 7.5625)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.2.2.3

Soustrayez $7.5625$ de $22.75$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot {15.1875}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.2.2.4

Réécrivez $15.1875$ comme ${3.89711431}^{2}$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot {({3.89711431}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7.2.2.5

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot {3.89711431}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 7.2.2.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot {3.89711431}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 7.2.2.6.2

Réécrivez l’expression.

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot 3.89711431}$

Étape 7.2.2.7

Évaluez l’exposant.

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{2 \cdot 3.89711431}$

Étape 7.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.2.3.1

Multipliez $2$ par $3.89711431$ .

$f' (- 2.75) = - \frac{- 4.5}{7.79422863}$

Étape 7.2.3.2

Divisez $- 4.5$ par $7.79422863$ .

$f' (- 2.75) = 0.57735026$

Étape 7.2.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 0.57735026$ .

$f' (- 2.75) = 0.57735026$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $0.57735026$ .

$0.57735026$

Étape 7.3

Sur $x = - 2.75$ la dérivée est $0.57735026$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 5, - \frac{1}{2})$ .

Augmente sur $(- 5, - \frac{1}{2})$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 0.5, 4)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $1.75$ dans l’expression.

$f' (1.75) = - \frac{1 + 2 (1.75)}{2 {(20 - (1.75) - {(1.75)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Multipliez $2$ par $1.75$ .

$f' (1.75) = - \frac{1 + 3.5}{2 {(20 - (1.75) - {1.75}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2.1.2

Additionnez $1$ et $3.5$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 {(20 - (1.75) - {1.75}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $1.75$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 {(20 - 1.75 - {1.75}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2.2.1.2

Élevez $1.75$ à la puissance $2$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 {(20 - 1.75 - 1 \cdot 3.0625)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $3.0625$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 {(20 - 1.75 - 3.0625)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2.2.2

Soustrayez $1.75$ de $20$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 {(18.25 - 3.0625)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2.2.3

Soustrayez $3.0625$ de $18.25$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot {15.1875}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2.2.4

Réécrivez $15.1875$ comme ${3.89711431}^{2}$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot {({3.89711431}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 8.2.2.5

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot {3.89711431}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 8.2.2.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot {3.89711431}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 8.2.2.6.2

Réécrivez l’expression.

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot 3.89711431}$

Étape 8.2.2.7

Évaluez l’exposant.

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{2 \cdot 3.89711431}$

Étape 8.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.2.3.1

Multipliez $2$ par $3.89711431$ .

$f' (1.75) = - \frac{4.5}{7.79422863}$

Étape 8.2.3.2

Divisez $4.5$ par $7.79422863$ .

$f' (1.75) = - 1 \cdot 0.57735026$

Étape 8.2.3.3

Multipliez $- 1$ par $0.57735026$ .

$f' (1.75) = - 0.57735026$

Étape 8.2.4

La réponse finale est $- 0.57735026$ .

$- 0.57735026$

Étape 8.3

Sur $x = 1.75$ la dérivée est $- 0.57735026$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 0.5, 4)$ .

Diminue sur $(- \frac{1}{2}, 4)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(4, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f' (5) = - \frac{1 + 2 (5)}{2 {(20 - (5) - {(5)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$f' (5) = - \frac{1 + 10}{2 {(20 - (5) - 5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2.1.2

Additionnez $1$ et $10$ .

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(20 - (5) - 5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(20 - 5 - 5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2.2.1.2

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(20 - 5 - 1 \cdot 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(20 - 5 - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2.2.2

Soustrayez $5$ de $20$ .

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(15 - 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2.2.3

Soustrayez $25$ de $15$ .

$f' (5) = - \frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.2.3

La réponse finale est $- \frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.3

Sur $x = 5$ la dérivée est $- \frac{11}{2 {(- 10)}^{\frac{1}{2}}}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(4, \infty)$ .

Diminue sur $(4, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 10

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- 5, - \frac{1}{2})$

Diminue sur : $(- \infty, - 5), (- \frac{1}{2}, 4), (4, \infty)$

Étape 11