Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln^{3} (x)$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \ln^{3} (y)$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\ln^{3} (y) = x$ .

$\ln^{3} (y) = x$

Étape 2.2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$\ln^{3} (y) = x$

Étape 2.2.2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.2.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\ln (y) = \sqrt[3]{x}$

Étape 2.2.2.2

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (y)} = e^{\sqrt[3]{x}}$

Étape 2.2.2.3

Réécrivez $\ln (y) = \sqrt[3]{x}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\sqrt[3]{x}} = y$

Étape 2.2.2.4

Réécrivez l’équation comme $y = e^{\sqrt[3]{x}}$ .

$y = e^{\sqrt[3]{x}}$

Étape 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = e^{\sqrt[3]{x}}$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = e^{\sqrt[3]{x}}$ est l’inverse de $f (x) = \ln^{3} (x)$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\ln^{3} (x))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln^{3} (x)) = e^{\sqrt[3]{\ln^{3} (x)}}$

Étape 4.2.3

Supprimez les parenthèses.

$f^{- 1} (\ln^{3} (x)) = e^{\sqrt[3]{\ln^{3} (x)}}$

Étape 4.2.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (\ln^{3} (x)) = e^{\ln (x)}$

Étape 4.2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f^{- 1} (\ln^{3} (x)) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (e^{\sqrt[3]{x}})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = \ln^{3} (e^{\sqrt[3]{x}})$

Étape 4.3.3

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $\sqrt[3]{x}$ de l’exposant.

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = {(\sqrt[3]{x} \ln (e))}^{3}$

Étape 4.3.4

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = {(\sqrt[3]{x} \cdot 1)}^{3}$

Étape 4.3.5

Multipliez $\sqrt[3]{x}$ par $1$ .

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = {\sqrt[3]{x}}^{3}$

Étape 4.3.6

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ comme $x$ .

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Étape 4.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Étape 4.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Étape 4.3.6.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x^{\frac{3}{3}}$

Étape 4.3.6.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x^{\frac{3}{3}}$

Étape 4.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x$

Étape 4.3.6.5

Simplifiez

$f (e^{\sqrt[3]{x}}) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = e^{\sqrt[3]{x}}$ est l’inverse de $f (x) = \ln^{3} (x)$ .

$f^{- 1} (x) = e^{\sqrt[3]{x}}$