Calcul infinitésimal Exemples

$7 \cos (2 x) + 7 x$

Étape 1

Écrivez $7 \cos (2 x) + 7 x$ comme une fonction.

$f (x) = 7 \cos (2 x) + 7 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 \cos (2 x) + 7 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [7 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [7 x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 \cos (2 x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [7 x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$7 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [7 x]$

Étape 2.2.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$7 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [7 x]$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$7 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [7 x]$

Étape 2.2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [7 x]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [7 x]$

Étape 2.2.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$7 (- \sin (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [7 x]$

Étape 2.2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$7 (- 2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} [7 x]$

Étape 2.2.7

Multipliez $- 2$ par $7$ .

$- 14 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [7 x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 14 \sin (2 x) + 7 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 14 \sin (2 x) + 7 \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $7$ par $1$ .

$- 14 \sin (2 x) + 7$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$7 - 14 \sin (2 x)$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 - 14 \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 14 \sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (7) + \frac{d}{d x} (- 14 \sin (2 x))$

Étape 3.1.2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 14 \sin (2 x))$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 14 \sin (2 x)]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 14 \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $- 14 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 14 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 14 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 3.2.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 0 - 14 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 3.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 14 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Étape 3.2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 14 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 14 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Étape 3.2.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 0 - 14 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Étape 3.2.6

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 0 - 14 (2 \cdot \cos (2 x))$

Étape 3.2.7

Multipliez $2$ par $- 14$ .

$f'' (x) = 0 - 28 \cos (2 x)$

Étape 3.3

Soustrayez $28 \cos (2 x)$ de $0$ .

$f'' (x) = - 28 \cos (2 x)$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$7 - 14 \sin (2 x) = 0$

Étape 5

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$- 14 \sin (2 x) = - 7$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $- 14 \sin (2 x) = - 7$ par $- 14$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $- 14 \sin (2 x) = - 7$ par $- 14$ .

$\frac{- 14 \sin (2 x)}{- 14} = \frac{- 7}{- 14}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $- 14$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 14 \sin (2 x)}{- 14} = \frac{- 7}{- 14}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $\sin (2 x)$ par $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 7}{- 14}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Annulez le facteur commun à $- 7$ et $- 14$ .

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Étape 6.3.1.1

Factorisez $- 7$ à partir de $- 7$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 7 (1)}{- 14}$

Étape 6.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.1.2.1

Factorisez $- 7$ à partir de $- 14$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 7 \cdot 1}{- 7 \cdot 2}$

Étape 6.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (2 x) = \frac{- 7 \cdot 1}{- 7 \cdot 2}$

Étape 6.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

Étape 7

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$2 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Étape 8

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$2 x = \frac{π}{6}$

Étape 9

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{6}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 9.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{π}{6}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Étape 9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Étape 9.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Étape 9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 9.3.2

Multipliez $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 9.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{6}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Étape 9.3.2.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$x = \frac{π}{12}$

Étape 10

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$2 x = π - \frac{π}{6}$

Étape 11

Résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Simplifiez

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Étape 11.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 11.1.2

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 11.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 11.1.4

Soustrayez $π$ de $π \cdot 6$ .

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Étape 11.1.4.1

Remettez dans l’ordre $π$ et $6$ .

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 11.1.4.2

Soustrayez $π$ de $6 \cdot π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Étape 11.2

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 11.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Étape 11.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Étape 11.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Étape 11.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 11.2.3.2

Multipliez $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 11.2.3.2.1

Multipliez $\frac{5 π}{6}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Étape 11.2.3.2.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Étape 12

La solution de l’équation est $2 x = \frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{π}{12}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 28 \cos (2 (\frac{π}{12}))$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.1.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$- 28 \cos (2 \frac{π}{2 (6)})$

Étape 14.1.2

Annulez le facteur commun.

$- 28 \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 6})$

Étape 14.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 28 \cos (\frac{π}{6})$

Étape 14.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 28 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 14.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 28$ .

$2 (- 14) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 14.3.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 14 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 14.3.3

Réécrivez l’expression.

$- 14 \sqrt{3}$

Étape 15

$x = \frac{π}{12}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{π}{12}$ est un maximum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{π}{12}$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{12}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{12}) = 7 \cos (2 (\frac{π}{12})) + 7 (\frac{π}{12})$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 16.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 16.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$f (\frac{π}{12}) = 7 \cos (2 (\frac{π}{2 (6)})) + 7 (\frac{π}{12})$

Étape 16.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{12}) = 7 \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 6})) + 7 (\frac{π}{12})$

Étape 16.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{12}) = 7 \cos (\frac{π}{6}) + 7 (\frac{π}{12})$

Étape 16.2.1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{12}) = 7 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 7 (\frac{π}{12})$

Étape 16.2.1.3

Associez $7$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{12}) = \frac{7 \sqrt{3}}{2} + 7 (\frac{π}{12})$

Étape 16.2.1.4

Associez $7$ et $\frac{π}{12}$ .

$f (\frac{π}{12}) = \frac{7 \sqrt{3}}{2} + \frac{7 π}{12}$

Étape 16.2.2

La réponse finale est $\frac{7 \sqrt{3}}{2} + \frac{7 π}{12}$ .

$y = \frac{7 \sqrt{3}}{2} + \frac{7 π}{12}$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{5 π}{12}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 28 \cos (2 (\frac{5 π}{12}))$

Étape 18

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 18.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 18.1.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$- 28 \cos (2 \frac{5 π}{2 (6)})$

Étape 18.1.2

Annulez le facteur commun.

$- 28 \cos (2 \frac{5 π}{2 \cdot 6})$

Étape 18.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 28 \cos (\frac{5 π}{6})$

Étape 18.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- 28 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Étape 18.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 28 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 18.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 18.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$- 28 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 18.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 28$ .

$2 (- 14) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 18.4.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 14 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 18.4.4

Réécrivez l’expression.

$- 14 (- \sqrt{3})$

Étape 18.5

Multipliez $- 1$ par $- 14$ .

$14 \sqrt{3}$

Étape 19

$x = \frac{5 π}{12}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{5 π}{12}$ est un minimum local

Étape 20

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{5 π}{12}$ .

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Étape 20.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{5 π}{12}$ dans l’expression.

$f (\frac{5 π}{12}) = 7 \cos (2 (\frac{5 π}{12})) + 7 (\frac{5 π}{12})$

Étape 20.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 20.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 20.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 20.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 7 \cos (2 (\frac{5 π}{2 (6)})) + 7 (\frac{5 π}{12})$

Étape 20.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 π}{12}) = 7 \cos (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 6})) + 7 (\frac{5 π}{12})$

Étape 20.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 π}{12}) = 7 \cos (\frac{5 π}{6}) + 7 (\frac{5 π}{12})$

Étape 20.2.1.2

$f (\frac{5 π}{12}) = 7 (- \cos (\frac{π}{6})) + 7 (\frac{5 π}{12})$

Étape 20.2.1.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = 7 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 7 (\frac{5 π}{12})$

Étape 20.2.1.4

Multipliez $7 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

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Étape 20.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = - 7 \frac{\sqrt{3}}{2} + 7 (\frac{5 π}{12})$

Étape 20.2.1.4.2

Associez $- 7$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = \frac{- 7 \sqrt{3}}{2} + 7 (\frac{5 π}{12})$

Étape 20.2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{5 π}{12}) = - \frac{7 \sqrt{3}}{2} + 7 (\frac{5 π}{12})$

Étape 20.2.1.6

Multipliez $7 (\frac{5 π}{12})$ .

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Étape 20.2.1.6.1

Associez $7$ et $\frac{5 π}{12}$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = - \frac{7 \sqrt{3}}{2} + \frac{7 (5 π)}{12}$

Étape 20.2.1.6.2

Multipliez $5$ par $7$ .

$f (\frac{5 π}{12}) = - \frac{7 \sqrt{3}}{2} + \frac{35 π}{12}$

Étape 20.2.2

La réponse finale est $- \frac{7 \sqrt{3}}{2} + \frac{35 π}{12}$ .

$y = - \frac{7 \sqrt{3}}{2} + \frac{35 π}{12}$

Étape 21

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 7 \cos (2 x) + 7 x$ .

$(\frac{π}{12}, \frac{7 \sqrt{3}}{2} + \frac{7 π}{12})$ est un maximum local

$(\frac{5 π}{12}, - \frac{7 \sqrt{3}}{2} + \frac{35 π}{12})$ est un minimum local

Étape 22