Calcul infinitésimal Exemples

${(x + 1)}^{7} - 7 x - 3$

Étape 1

Écrivez ${(x + 1)}^{7} - 7 x - 3$ comme une fonction.

$f (x) = {(x + 1)}^{7} - 7 x - 3$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${(x + 1)}^{7} - 7 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{7}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{7}$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$7 {(x + 1)}^{6} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$7 {(x + 1)}^{6} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7 {(x + 1)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.2.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$7 {(x + 1)}^{6} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.2.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$7 {(x + 1)}^{6} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.2.6

Multipliez $7$ par $1$ .

$7 {(x + 1)}^{6} + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 {(x + 1)}^{6} - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7 {(x + 1)}^{6} - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$7 {(x + 1)}^{6} - 7 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$7 {(x + 1)}^{6} - 7 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $7 {(x + 1)}^{6} - 7$ et $0$ .

$7 {(x + 1)}^{6} - 7$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 {(x + 1)}^{6} - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 {(x + 1)}^{6}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (7 {(x + 1)}^{6}) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 {(x + 1)}^{6}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 {(x + 1)}^{6}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{6}]$ .

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{6}) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{6}$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 3.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 1$ .

$f'' (x) = 7 (\frac{d}{d u} (u^{6}) \frac{d}{d x} (x + 1)) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Étape 3.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$f'' (x) = 7 (6 u^{5} \frac{d}{d x} (x + 1)) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Étape 3.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$f'' (x) = 7 (6 {(x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} (x + 1)) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Étape 3.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 7 (6 {(x + 1)}^{5} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 7 (6 {(x + 1)}^{5} (1 + \frac{d}{d x} (1))) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Étape 3.2.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 7 (6 {(x + 1)}^{5} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Étape 3.2.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = 7 (6 {(x + 1)}^{5} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Étape 3.2.7

Multipliez $6$ par $1$ .

$f'' (x) = 7 (6 {(x + 1)}^{5}) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Étape 3.2.8

Multipliez $6$ par $7$ .

$f'' (x) = 42 {(x + 1)}^{5} + \frac{d}{d x} (- 7)$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.3.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 42 {(x + 1)}^{5} + 0$

Étape 3.3.2

Additionnez $42 {(x + 1)}^{5}$ et $0$ .

$f'' (x) = 42 {(x + 1)}^{5}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$7 {(x + 1)}^{6} - 7 = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${(x + 1)}^{7} - 7 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{7}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{7}$ et $g (x) = x + 1$ .

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Étape 5.1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 5.1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 5.1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$7 {(x + 1)}^{6} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 5.1.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$7 {(x + 1)}^{6} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 5.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7 {(x + 1)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 5.1.2.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$7 {(x + 1)}^{6} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 5.1.2.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$7 {(x + 1)}^{6} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 5.1.2.6

Multipliez $7$ par $1$ .

$7 {(x + 1)}^{6} + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 {(x + 1)}^{6} - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7 {(x + 1)}^{6} - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$7 {(x + 1)}^{6} - 7 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.1.4.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$7 {(x + 1)}^{6} - 7 + 0$

Étape 5.1.4.2

Additionnez $7 {(x + 1)}^{6} - 7$ et $0$ .

$f' (x) = 7 {(x + 1)}^{6} - 7$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $7 {(x + 1)}^{6} - 7$ .

$7 {(x + 1)}^{6} - 7$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $7 {(x + 1)}^{6} - 7 = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$7 {(x + 1)}^{6} - 7 = 0$

Étape 6.2

Simplifiez $7 {(x + 1)}^{6} - 7$ .

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$7 (x^{6} + 6 x^{5} \cdot 1 + 15 x^{4} \cdot 1^{2} + 20 x^{3} \cdot 1^{3} + 15 x^{2} \cdot 1^{4} + 6 x \cdot 1^{5} + 1^{6}) - 7 = 0$

Étape 6.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.2.1

Multipliez $6$ par $1$ .

$7 (x^{6} + 6 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 1^{2} + 20 x^{3} \cdot 1^{3} + 15 x^{2} \cdot 1^{4} + 6 x \cdot 1^{5} + 1^{6}) - 7 = 0$

Étape 6.2.1.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$7 (x^{6} + 6 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 1 + 20 x^{3} \cdot 1^{3} + 15 x^{2} \cdot 1^{4} + 6 x \cdot 1^{5} + 1^{6}) - 7 = 0$

Étape 6.2.1.2.3

Multipliez $15$ par $1$ .

$7 (x^{6} + 6 x^{5} + 15 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 1^{3} + 15 x^{2} \cdot 1^{4} + 6 x \cdot 1^{5} + 1^{6}) - 7 = 0$

Étape 6.2.1.2.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$7 (x^{6} + 6 x^{5} + 15 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 1 + 15 x^{2} \cdot 1^{4} + 6 x \cdot 1^{5} + 1^{6}) - 7 = 0$

Étape 6.2.1.2.5

Multipliez $20$ par $1$ .

$7 (x^{6} + 6 x^{5} + 15 x^{4} + 20 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 1^{4} + 6 x \cdot 1^{5} + 1^{6}) - 7 = 0$

Étape 6.2.1.2.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$7 (x^{6} + 6 x^{5} + 15 x^{4} + 20 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 1 + 6 x \cdot 1^{5} + 1^{6}) - 7 = 0$

Étape 6.2.1.2.7

Multipliez $15$ par $1$ .

$7 (x^{6} + 6 x^{5} + 15 x^{4} + 20 x^{3} + 15 x^{2} + 6 x \cdot 1^{5} + 1^{6}) - 7 = 0$

Étape 6.2.1.2.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$7 (x^{6} + 6 x^{5} + 15 x^{4} + 20 x^{3} + 15 x^{2} + 6 x \cdot 1 + 1^{6}) - 7 = 0$

Étape 6.2.1.2.9

Multipliez $6$ par $1$ .

$7 (x^{6} + 6 x^{5} + 15 x^{4} + 20 x^{3} + 15 x^{2} + 6 x + 1^{6}) - 7 = 0$

Étape 6.2.1.2.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$7 (x^{6} + 6 x^{5} + 15 x^{4} + 20 x^{3} + 15 x^{2} + 6 x + 1) - 7 = 0$

Étape 6.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$7 x^{6} + 7 (6 x^{5}) + 7 (15 x^{4}) + 7 (20 x^{3}) + 7 (15 x^{2}) + 7 (6 x) + 7 \cdot 1 - 7 = 0$

Étape 6.2.1.4

Simplifiez

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Étape 6.2.1.4.1

Multipliez $6$ par $7$ .

$7 x^{6} + 42 x^{5} + 7 (15 x^{4}) + 7 (20 x^{3}) + 7 (15 x^{2}) + 7 (6 x) + 7 \cdot 1 - 7 = 0$

Étape 6.2.1.4.2

Multipliez $15$ par $7$ .

$7 x^{6} + 42 x^{5} + 105 x^{4} + 7 (20 x^{3}) + 7 (15 x^{2}) + 7 (6 x) + 7 \cdot 1 - 7 = 0$

Étape 6.2.1.4.3

Multipliez $20$ par $7$ .

$7 x^{6} + 42 x^{5} + 105 x^{4} + 140 x^{3} + 7 (15 x^{2}) + 7 (6 x) + 7 \cdot 1 - 7 = 0$

Étape 6.2.1.4.4

Multipliez $15$ par $7$ .

$7 x^{6} + 42 x^{5} + 105 x^{4} + 140 x^{3} + 105 x^{2} + 7 (6 x) + 7 \cdot 1 - 7 = 0$

Étape 6.2.1.4.5

Multipliez $6$ par $7$ .

$7 x^{6} + 42 x^{5} + 105 x^{4} + 140 x^{3} + 105 x^{2} + 42 x + 7 \cdot 1 - 7 = 0$

Étape 6.2.1.4.6

Multipliez $7$ par $1$ .

$7 x^{6} + 42 x^{5} + 105 x^{4} + 140 x^{3} + 105 x^{2} + 42 x + 7 - 7 = 0$

Étape 6.2.2

Associez les termes opposés dans $7 x^{6} + 42 x^{5} + 105 x^{4} + 140 x^{3} + 105 x^{2} + 42 x + 7 - 7$ .

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $7$ de $7$ .

$7 x^{6} + 42 x^{5} + 105 x^{4} + 140 x^{3} + 105 x^{2} + 42 x + 0 = 0$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $7 x^{6} + 42 x^{5} + 105 x^{4} + 140 x^{3} + 105 x^{2} + 42 x$ et $0$ .

$7 x^{6} + 42 x^{5} + 105 x^{4} + 140 x^{3} + 105 x^{2} + 42 x = 0$

Étape 6.3

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x = - 2, 0$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = - 2, 0$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$42 {((- 2) + 1)}^{5}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$42 {(- 1)}^{5}$

Étape 10.2

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$42 \cdot - 1$

Étape 10.3

Multipliez $42$ par $- 1$ .

$- 42$

Étape 11

$x = - 2$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 2$ est un maximum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = - 2$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = {((- 2) + 1)}^{7} - 7 \cdot - 2 - 3$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$f (- 2) = {(- 1)}^{7} - 7 \cdot - 2 - 3$

Étape 12.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $7$ .

$f (- 2) = - 1 - 7 \cdot - 2 - 3$

Étape 12.2.1.3

Multipliez $- 7$ par $- 2$ .

$f (- 2) = - 1 + 14 - 3$

Étape 12.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 12.2.2.1

Additionnez $- 1$ et $14$ .

$f (- 2) = 13 - 3$

Étape 12.2.2.2

Soustrayez $3$ de $13$ .

$f (- 2) = 10$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $10$ .

$y = 10$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$42 {((0) + 1)}^{5}$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Additionnez $0$ et $1$ .

$42 \cdot 1^{5}$

Étape 14.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$42 \cdot 1$

Étape 14.3

Multipliez $42$ par $1$ .

$42$

Étape 15

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {((0) + 1)}^{7} - 7 \cdot 0 - 3$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 16.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.2.1.1

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (0) = 1^{7} - 7 \cdot 0 - 3$

Étape 16.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (0) = 1 - 7 \cdot 0 - 3$

Étape 16.2.1.3

Multipliez $- 7$ par $0$ .

$f (0) = 1 + 0 - 3$

Étape 16.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 16.2.2.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f (0) = 1 - 3$

Étape 16.2.2.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$f (0) = - 2$

Étape 16.2.3

La réponse finale est $- 2$ .

$y = - 2$

Étape 17

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = {(x + 1)}^{7} - 7 x - 3$ .

$(- 2, 10)$ est un maximum local

$(0, - 2)$ est un minimum local

Étape 18