Calcul infinitésimal Exemples

$8 x^{2} + \frac{128}{x} - 6$

Étape 1

Écrivez $8 x^{2} + \frac{128}{x} - 6$ comme une fonction.

$f (x) = 8 x^{2} + \frac{128}{x} - 6$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x^{2} + \frac{128}{x} - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{2}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$8 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $8$ .

$16 x + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{128}{x}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $128$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{128}{x}$ par rapport à $x$ est $128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$16 x + 128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$16 x + 128 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$16 x + 128 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.3.4

Multipliez $- 1$ par $128$ .

$16 x - 128 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 2.4

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$16 x - 128 x^{- 2} + 0$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 x - 128 \frac{1}{x^{2}} + 0$

Étape 2.5.2

Associez des termes.

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Étape 2.5.2.1

Associez $- 128$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$16 x + \frac{- 128}{x^{2}} + 0$

Étape 2.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$16 x - \frac{128}{x^{2}} + 0$

Étape 2.5.2.3

Additionnez $16 x - \frac{128}{x^{2}}$ et $0$ .

$16 x - \frac{128}{x^{2}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $16 x - \frac{128}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{128}{x^{2}})$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 x$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 16 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{128}{x^{2}})$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{128}{x^{2}})$

Étape 3.2.3

Multipliez $16$ par $1$ .

$f'' (x) = 16 + \frac{d}{d x} (- \frac{128}{x^{2}})$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{128}{x^{2}}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 128$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{128}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 16 - 128 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}}$

Étape 3.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 16 - 128 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1}$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 3.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$f'' (x) = 16 - 128 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Étape 3.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = 16 - 128 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Étape 3.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f'' (x) = 16 - 128 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 16 - 128 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Étape 3.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 3.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 16 - 128 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Étape 3.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 16 - 128 (- x^{- 4} (2 x))$

Étape 3.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 16 - 128 (- 2 x^{- 4} x)$

Étape 3.3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 16 - 128 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

Étape 3.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 16 - 128 (- 2 x^{1 - 4})$

Étape 3.3.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f'' (x) = 16 - 128 (- 2 x^{- 3})$

Étape 3.3.10

Multipliez $- 2$ par $- 128$ .

$f'' (x) = 16 + 256 x^{- 3}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 16 + 256 (\frac{1}{x^{3}})$

Étape 3.4.2

Associez $256$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = 16 + \frac{256}{x^{3}}$

Étape 3.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{256}{x^{3}} + 16$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$16 x - \frac{128}{x^{2}} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x^{2} + \frac{128}{x} - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{2}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$8 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 5.1.2.3

Multipliez $2$ par $8$ .

$16 x + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{128}{x}]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $128$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{128}{x}$ par rapport à $x$ est $128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$16 x + 128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 5.1.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$16 x + 128 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 5.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$16 x + 128 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 5.1.3.4

Multipliez $- 1$ par $128$ .

$16 x - 128 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 5.1.4

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$16 x - 128 x^{- 2} + 0$

Étape 5.1.5

Simplifiez

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Étape 5.1.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 x - 128 \frac{1}{x^{2}} + 0$

Étape 5.1.5.2

Associez des termes.

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Étape 5.1.5.2.1

Associez $- 128$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$16 x + \frac{- 128}{x^{2}} + 0$

Étape 5.1.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$16 x - \frac{128}{x^{2}} + 0$

Étape 5.1.5.2.3

Additionnez $16 x - \frac{128}{x^{2}}$ et $0$ .

$f' (x) = 16 x - \frac{128}{x^{2}}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $16 x - \frac{128}{x^{2}}$ .

$16 x - \frac{128}{x^{2}}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $16 x - \frac{128}{x^{2}} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$16 x - \frac{128}{x^{2}} = 0$

Étape 6.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 6.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x^{2}, 1$

Étape 6.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{2}$

Étape 6.3

Multiplier chaque terme dans $16 x - \frac{128}{x^{2}} = 0$ par $x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 6.3.1

Multipliez chaque terme dans $16 x - \frac{128}{x^{2}} = 0$ par $x^{2}$ .

$16 x \cdot x^{2} - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.2.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$16 (x^{2} x) - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 6.3.2.1.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 6.3.2.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$16 (x^{2} x^{1}) - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 6.3.2.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$16 x^{2 + 1} - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 6.3.2.1.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$16 x^{3} - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 6.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 6.3.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{128}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$16 x^{3} + \frac{- 128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 6.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$16 x^{3} + \frac{- 128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 6.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$16 x^{3} - 128 = 0 x^{2}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Multipliez $0$ par $x^{2}$ .

$16 x^{3} - 128 = 0$

Étape 6.4

Résolvez l’équation.

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Étape 6.4.1

Ajoutez $128$ aux deux côtés de l’équation.

$16 x^{3} = 128$

Étape 6.4.2

Soustrayez $128$ des deux côtés de l’équation.

$16 x^{3} - 128 = 0$

Étape 6.4.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.4.3.1

Factorisez $16$ à partir de $16 x^{3} - 128$ .

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Étape 6.4.3.1.1

Factorisez $16$ à partir de $16 x^{3}$ .

$16 (x^{3}) - 128 = 0$

Étape 6.4.3.1.2

Factorisez $16$ à partir de $- 128$ .

$16 x^{3} + 16 \cdot - 8 = 0$

Étape 6.4.3.1.3

Factorisez $16$ à partir de $16 x^{3} + 16 \cdot - 8$ .

$16 (x^{3} - 8) = 0$

Étape 6.4.3.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$16 (x^{3} - 2^{3}) = 0$

Étape 6.4.3.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$16 ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Étape 6.4.3.4

Factorisez.

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Étape 6.4.3.4.1

Simplifiez

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Étape 6.4.3.4.1.1

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$16 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2})) = 0$

Étape 6.4.3.4.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$16 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)) = 0$

Étape 6.4.3.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$16 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Étape 6.4.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Étape 6.4.5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.4.5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 6.4.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 6.4.6

Définissez $x^{2} + 2 x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.4.6.1

Définissez $x^{2} + 2 x + 4$ égal à $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Étape 6.4.6.2

Résolvez $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.4.6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6.4.6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 2$ et $c = 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.6.2.3

Simplifiez

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Étape 6.4.6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.6.2.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 6.4.6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.6.2.3.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.6.2.3.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.6.2.3.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 6.4.6.2.3.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.6.2.3.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.6.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.6.2.3.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.6.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 6.4.6.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Étape 6.4.6.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 6.4.6.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.6.2.4.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.6.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 6.4.6.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.6.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.6.2.4.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.6.2.4.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.6.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.6.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.6.2.4.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.6.2.4.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.6.2.4.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.6.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.6.2.4.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.6.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 6.4.6.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Étape 6.4.6.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Étape 6.4.6.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 6.4.6.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.6.2.5.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.6.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 6.4.6.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.6.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.6.2.5.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.6.2.5.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.6.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.6.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.6.2.5.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 6.4.6.2.5.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.6.2.5.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.6.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.6.2.5.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.6.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 6.4.6.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Étape 6.4.6.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 6.4.6.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 6.4.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $16 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ vraie.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{128}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 7.2

Résolvez $x$ .

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Étape 7.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 7.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 7.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 7.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 7.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 2$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{256}{{(2)}^{3}} + 16$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{256}{8} + 16$

Étape 10.1.2

Divisez $256$ par $8$ .

$32 + 16$

Étape 10.2

Additionnez $32$ et $16$ .

$48$

Étape 11

$x = 2$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 2$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 2$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = 8 {(2)}^{2} + \frac{128}{2} - 6$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2) = 8 \cdot 4 + \frac{128}{2} - 6$

Étape 12.2.1.2

Multipliez $8$ par $4$ .

$f (2) = 32 + \frac{128}{2} - 6$

Étape 12.2.1.3

Divisez $128$ par $2$ .

$f (2) = 32 + 64 - 6$

Étape 12.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 12.2.2.1

Additionnez $32$ et $64$ .

$f (2) = 96 - 6$

Étape 12.2.2.2

Soustrayez $6$ de $96$ .

$f (2) = 90$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $90$ .

$y = 90$

Étape 13

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 8 x^{2} + \frac{128}{x} - 6$ .

$(2, 90)$ est un minimum local

Étape 14