Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{4 e^{x} + 4 e^{- x}}{2}$

Étape 1

Écrivez $\frac{4 e^{x} + 4 e^{- x}}{2}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{4 e^{x} + 4 e^{- x}}{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun à $4 e^{x} + 4 e^{- x}$ et $2$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x}) + 4 e^{- x}}{2}]$

Étape 2.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4 e^{- x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x}) + 2 (2 e^{- x})}{2}]$

Étape 2.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 e^{x}) + 2 (2 e^{- x})$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2}]$

Étape 2.1.1.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2 (1)}]$

Étape 2.1.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2 \cdot 1}]$

Étape 2.1.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x} + 2 e^{- x}}{1}]$

Étape 2.1.1.4.4

Divisez $2 e^{x} + 2 e^{- x}$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{x} + 2 e^{- x}]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 e^{x} + 2 e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Étape 2.1.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 e^{x} + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Étape 2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{- x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$2 e^{x} + 2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$2 e^{x} + 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 e^{x} + 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$2 e^{x} + 2 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 2.5

Différenciez.

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Étape 2.5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 e^{x} + 2 e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.5.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x} \cdot 1$

Étape 2.5.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 e^{x} - 2 e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{- x})$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{- x})$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} + \frac{d}{d x} (- 2 e^{- x})$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 e^{- x}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 \frac{d}{d x} e^{- x}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

Étape 3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Étape 3.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Étape 3.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (e^{- x} \cdot - 1)$

Étape 3.3.6

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (- 1 \cdot e^{- x})$

Étape 3.3.7

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (- e^{- x})$

Étape 3.3.8

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} + 2 e^{- x}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$2 e^{x} - 2 e^{- x} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Différenciez.

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Étape 5.1.1.1

Annulez le facteur commun à $4 e^{x} + 4 e^{- x}$ et $2$ .

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Étape 5.1.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x}) + 4 e^{- x}}{2}]$

Étape 5.1.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4 e^{- x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x}) + 2 (2 e^{- x})}{2}]$

Étape 5.1.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 e^{x}) + 2 (2 e^{- x})$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2}]$

Étape 5.1.1.1.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.1.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2 (1)}]$

Étape 5.1.1.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2 \cdot 1}]$

Étape 5.1.1.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x} + 2 e^{- x}}{1}]$

Étape 5.1.1.1.4.4

Divisez $2 e^{x} + 2 e^{- x}$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{x} + 2 e^{- x}]$

Étape 5.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 e^{x} + 2 e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Étape 5.1.1.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Étape 5.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 e^{x} + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Étape 5.1.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{- x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$2 e^{x} + 2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 5.1.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$2 e^{x} + 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 5.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 e^{x} + 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 5.1.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$2 e^{x} + 2 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 5.1.5

Différenciez.

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Étape 5.1.5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 e^{x} + 2 e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.1.5.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x} \cdot 1$

Étape 5.1.5.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f' (x) = 2 e^{x} - 2 e^{- x}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 e^{x} - 2 e^{- x}$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 e^{x} - 2 e^{- x} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x} = 0$

Étape 6.2

Déplacez $- 2 e^{- x}$ du côté droit de l’équation en l’ajoutant des deux côtés.

$2 e^{x} = 2 e^{- x}$

Étape 6.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (2 e^{x}) = \ln (2 e^{- x})$

Étape 6.4

Développez le côté gauche.

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Étape 6.4.1

Réécrivez $\ln (2 e^{x})$ comme $\ln (2) + \ln (e^{x})$ .

$\ln (2) + \ln (e^{x}) = \ln (2 e^{- x})$

Étape 6.4.2

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$\ln (2) + x \ln (e) = \ln (2 e^{- x})$

Étape 6.4.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\ln (2) + x \cdot 1 = \ln (2 e^{- x})$

Étape 6.4.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$\ln (2) + x = \ln (2 e^{- x})$

Étape 6.5

Développez le côté droit.

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Étape 6.5.1

Réécrivez $\ln (2 e^{- x})$ comme $\ln (2) + \ln (e^{- x})$ .

$\ln (2) + x = \ln (2) + \ln (e^{- x})$

Étape 6.5.2

Développez $\ln (e^{- x})$ en déplaçant $- x$ hors du logarithme.

$\ln (2) + x = \ln (2) - x \ln (e)$

Étape 6.5.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\ln (2) + x = \ln (2) - x \cdot 1$

Étape 6.5.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\ln (2) + x = \ln (2) - x$

Étape 6.6

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (2) - \ln (2) = - x - x$

Étape 6.7

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2}{2}) = - x - x$

Étape 6.8

Divisez $2$ par $2$ .

$\ln (1) = - x - x$

Étape 6.9

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$0 = - x - x$

Étape 6.10

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$0 = - 2 x$

Étape 6.11

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$- 2 x = 0$

Étape 6.12

Divisez chaque terme dans $- 2 x = 0$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 6.12.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = 0$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Étape 6.12.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.12.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 6.12.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Étape 6.12.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{- 2}$

Étape 6.12.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.12.3.1

Divisez $0$ par $- 2$ .

$x = 0$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 0$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$2 e^{0} + 2 e^{- (0)}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$2 \cdot 1 + 2 e^{- (0)}$

Étape 10.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + 2 e^{- (0)}$

Étape 10.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 + 2 e^{0}$

Étape 10.1.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$2 + 2 \cdot 1$

Étape 10.1.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + 2$

Étape 10.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$4$

Étape 11

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \frac{4 e^{0} + 4 e^{- (0)}}{2}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Annulez le facteur commun à $4 e^{0} + 4 e^{- (0)}$ et $2$ .

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Étape 12.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 e^{0}$ .

$f (0) = \frac{2 (2 e^{0}) + 4 e^{- (0)}}{2}$

Étape 12.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4 e^{- (0)}$ .

$f (0) = \frac{2 (2 e^{0}) + 2 (2 e^{- (0)})}{2}$

Étape 12.2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 e^{0}) + 2 (2 e^{- (0)})$ .

$f (0) = \frac{2 (2 e^{0} + 2 e^{- (0)})}{2}$

Étape 12.2.1.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (0) = \frac{2 (2 e^{0} + 2 e^{- (0)})}{2 (1)}$

Étape 12.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (0) = \frac{2 (2 e^{0} + 2 e^{- (0)})}{2 \cdot 1}$

Étape 12.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (0) = \frac{2 e^{0} + 2 e^{- (0)}}{1}$

Étape 12.2.1.4.4

Divisez $2 e^{0} + 2 e^{- (0)}$ par $1$ .

$f (0) = 2 e^{0} + 2 e^{- (0)}$

Étape 12.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.2.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f (0) = 2 \cdot 1 + 2 e^{- (0)}$

Étape 12.2.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (0) = 2 + 2 e^{- (0)}$

Étape 12.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = 2 + 2 e^{0}$

Étape 12.2.2.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f (0) = 2 + 2 \cdot 1$

Étape 12.2.2.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (0) = 2 + 2$

Étape 12.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$f (0) = 4$

Étape 12.2.4

La réponse finale est $4$ .

$y = 4$

Étape 13

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{4 e^{x} + 4 e^{- x}}{2}$ .

$(0, 4)$ est un minimum local

Étape 14