Calcul infinitésimal Exemples

$3 x^{5} - 4 x^{3} - 3 x$

Étape 1

Écrivez $3 x^{5} - 4 x^{3} - 3 x$ comme une fonction.

$f (x) = 3 x^{5} - 4 x^{3} - 3 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{5} - 4 x^{3} - 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{5}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 2.2.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$15 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$15 x^{4} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$15 x^{4} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 x^{4} - 12 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$15 x^{4} - 12 x^{2} - 3 \cdot 1$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$15 x^{4} - 12 x^{2} - 3$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $15 x^{4} - 12 x^{2} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15 x^{4}$ par rapport à $x$ est $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 3.2.3

Multipliez $4$ par $15$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 3.3.3

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 24 x + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.4.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 24 x + 0$

Étape 3.4.2

Additionnez $60 x^{3} - 24 x$ et $0$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 24 x$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$15 x^{4} - 12 x^{2} - 3 = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{5} - 4 x^{3} - 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{5}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 5.1.2.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$15 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$15 x^{4} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$15 x^{4} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 5.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 5.1.4.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 x^{4} - 12 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$15 x^{4} - 12 x^{2} - 3 \cdot 1$

Étape 5.1.4.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 12 x^{2} - 3$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $15 x^{4} - 12 x^{2} - 3$ .

$15 x^{4} - 12 x^{2} - 3$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $15 x^{4} - 12 x^{2} - 3 = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$15 x^{4} - 12 x^{2} - 3 = 0$

Étape 6.2

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$15 u^{2} - 12 u - 3 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 6.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.3.1

Factorisez $3$ à partir de $15 u^{2} - 12 u - 3$ .

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Étape 6.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $15 u^{2}$ .

$3 (5 u^{2}) - 12 u - 3 = 0$

Étape 6.3.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 12 u$ .

$3 (5 u^{2}) + 3 (- 4 u) - 3 = 0$

Étape 6.3.1.3

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$3 (5 u^{2}) + 3 (- 4 u) + 3 (- 1) = 0$

Étape 6.3.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 (5 u^{2}) + 3 (- 4 u)$ .

$3 (5 u^{2} - 4 u) + 3 (- 1) = 0$

Étape 6.3.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (5 u^{2} - 4 u) + 3 (- 1)$ .

$3 (5 u^{2} - 4 u - 1) = 0$

Étape 6.3.2

Factorisez.

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Étape 6.3.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.3.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 5 \cdot - 1 = - 5$ et dont la somme est $b = - 4$ .

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Étape 6.3.2.1.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 u$ .

$3 (5 u^{2} - 4 u - 1) = 0$

Étape 6.3.2.1.1.2

Réécrivez $- 4$ comme $1$ plus $- 5$

$3 (5 u^{2} + (1 - 5) u - 1) = 0$

Étape 6.3.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 (5 u^{2} + 1 u - 5 u - 1) = 0$

Étape 6.3.2.1.1.4

Multipliez $u$ par $1$ .

$3 (5 u^{2} + u - 5 u - 1) = 0$

Étape 6.3.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.3.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$3 ((5 u^{2} + u) - 5 u - 1) = 0$

Étape 6.3.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$3 (u (5 u + 1) - (5 u + 1)) = 0$

Étape 6.3.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $5 u + 1$ .

$3 ((5 u + 1) (u - 1)) = 0$

Étape 6.3.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 (5 u + 1) (u - 1) = 0$

Étape 6.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$5 u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Étape 6.5

Définissez $5 u + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 6.5.1

Définissez $5 u + 1$ égal à $0$ .

$5 u + 1 = 0$

Étape 6.5.2

Résolvez $5 u + 1 = 0$ pour $u$ .

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Étape 6.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$5 u = - 1$

Étape 6.5.2.2

Divisez chaque terme dans $5 u = - 1$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 6.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 u = - 1$ par $5$ .

$\frac{5 u}{5} = \frac{- 1}{5}$

Étape 6.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 6.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 u}{5} = \frac{- 1}{5}$

Étape 6.5.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{- 1}{5}$

Étape 6.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$u = - \frac{1}{5}$

Étape 6.6

Définissez $u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 6.6.1

Définissez $u - 1$ égal à $0$ .

$u - 1 = 0$

Étape 6.6.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 1$

Étape 6.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 (5 u + 1) (u - 1) = 0$ vraie.

$u = - \frac{1}{5}, 1$

Étape 6.8

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = - \frac{1}{5}$

${(x^{2})}^{1} = 1$

Étape 6.9

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = - \frac{1}{5}$

Étape 6.10

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 6.10.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{5}}$

Étape 6.10.2

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{1}{5}}$ .

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Étape 6.10.2.1

Réécrivez $- \frac{1}{5}$ comme $i^{2} \frac{1^{2}}{5}$ .

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Étape 6.10.2.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{5}}$

Étape 6.10.2.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{5}}$

Étape 6.10.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{5}}$

Étape 6.10.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{5}}$

Étape 6.10.2.4

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{5}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$

Étape 6.10.2.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{5}}$

Étape 6.10.2.6

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Étape 6.10.2.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.10.2.7.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 6.10.2.7.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Étape 6.10.2.7.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Étape 6.10.2.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 6.10.2.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 6.10.2.7.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 6.10.2.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.10.2.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.10.2.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.10.2.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.10.2.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.10.2.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

Étape 6.10.2.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{5}$

Étape 6.10.2.8

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{5}}{5}$

Étape 6.10.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.10.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{i \sqrt{5}}{5}$

Étape 6.10.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{i \sqrt{5}}{5}$

Étape 6.10.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{i \sqrt{5}}{5}, - \frac{i \sqrt{5}}{5}$

Étape 6.11

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 1$

Étape 6.12

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 6.12.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = 1$

Étape 6.12.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 6.12.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 6.12.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.12.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 6.12.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 6.12.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 6.13

La solution à $15 x^{4} - 12 x^{2} - 3 = 0$ est $x = \frac{i \sqrt{5}}{5}, - \frac{i \sqrt{5}}{5}, 1, - 1$ .

$x = \frac{i \sqrt{5}}{5}, - \frac{i \sqrt{5}}{5}, 1, - 1$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 1, - 1$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$60 {(1)}^{3} - 24 \cdot 1$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$60 \cdot 1 - 24 \cdot 1$

Étape 10.1.2

Multipliez $60$ par $1$ .

$60 - 24 \cdot 1$

Étape 10.1.3

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$60 - 24$

Étape 10.2

Soustrayez $24$ de $60$ .

$36$

Étape 11

$x = 1$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 1$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = 3 {(1)}^{5} - 4 {(1)}^{3} - 3 \cdot 1$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 3 \cdot 1 - 4 {(1)}^{3} - 3 \cdot 1$

Étape 12.2.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (1) = 3 - 4 {(1)}^{3} - 3 \cdot 1$

Étape 12.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 3 - 4 \cdot 1 - 3 \cdot 1$

Étape 12.2.1.4

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f (1) = 3 - 4 - 3 \cdot 1$

Étape 12.2.1.5

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f (1) = 3 - 4 - 3$

Étape 12.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.2.1

Soustrayez $4$ de $3$ .

$f (1) = - 1 - 3$

Étape 12.2.2.2

Soustrayez $3$ de $- 1$ .

$f (1) = - 4$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $- 4$ .

$y = - 4$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$60 {(- 1)}^{3} - 24 \cdot - 1$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$60 \cdot - 1 - 24 \cdot - 1$

Étape 14.1.2

Multipliez $60$ par $- 1$ .

$- 60 - 24 \cdot - 1$

Étape 14.1.3

Multipliez $- 24$ par $- 1$ .

$- 60 + 24$

Étape 14.2

Additionnez $- 60$ et $24$ .

$- 36$

Étape 15

$x = - 1$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 1$ est un maximum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = - 1$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = 3 {(- 1)}^{5} - 4 {(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 16.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$f (- 1) = 3 \cdot - 1 - 4 {(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1$

Étape 16.2.1.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (- 1) = - 3 - 4 {(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1$

Étape 16.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- 1) = - 3 - 4 \cdot - 1 - 3 \cdot - 1$

Étape 16.2.1.4

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$f (- 1) = - 3 + 4 - 3 \cdot - 1$

Étape 16.2.1.5

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$f (- 1) = - 3 + 4 + 3$

Étape 16.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 16.2.2.1

Additionnez $- 3$ et $4$ .

$f (- 1) = 1 + 3$

Étape 16.2.2.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$f (- 1) = 4$

Étape 16.2.3

La réponse finale est $4$ .

$y = 4$

Étape 17

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 3 x^{5} - 4 x^{3} - 3 x$ .

$(1, - 4)$ est un minimum local

$(- 1, 4)$ est un maximum local

Étape 18