Calcul infinitésimal Exemples

$f (x, y) = x + \frac{4}{x} - y - \frac{9}{y} + 10$

Étape 1

Écrivez $f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} - 10 = 0$ comme une fonction.

$f (x) = f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} - 10$

Étape 2

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$f (x, y) - x = \frac{4}{x} - y - \frac{9}{y} + 10$

Étape 2.2

Soustrayez $\frac{4}{x}$ des deux côtés de l’équation.

$f (x, y) - x - \frac{4}{x} = - y - \frac{9}{y} + 10$

Étape 2.3

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y = - \frac{9}{y} + 10$

Étape 2.4

Ajoutez $\frac{9}{y}$ aux deux côtés de l’équation.

$f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} = 10$

Étape 2.5

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} - 10 = 0$

Étape 3

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $f (x, y) - x - \frac{4}{x} + y + \frac{9}{y} - 10$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 3.2

Multipliez $f$ par chaque élément de la matrice.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 3.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{4}{x}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 - 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 3.4.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 - 4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 3.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 - 4 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 3.4.4

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.5.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{9}{y}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 3.5.2

Comme $\frac{9}{y}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{9}{y}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 x^{- 2} + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [- 10]$

Étape 3.5.3

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 x^{- 2} + 0 + 0 + 0$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + 4 \frac{1}{x^{2}} + 0 + 0 + 0$

Étape 3.6.2

Associez des termes.

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Étape 3.6.2.1

Associez $4$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}} + 0 + 0 + 0$

Étape 3.6.2.2

Additionnez $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}}$ et $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}} + 0 + 0$

Étape 3.6.2.3

Additionnez $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}}$ et $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}} + 0$

Étape 3.6.2.4

Additionnez $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}}$ et $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1 + \frac{4}{x^{2}}$

Étape 3.6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{4}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 1$

Étape 4

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{4}{x^{2}} + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{4}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{2}}]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 4.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 4.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 4.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 4.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 4.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f'' (x) = 4 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 4.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 4.2.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 4.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 4.2.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 4 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 4.2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 4.2.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 4 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 4.2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 4 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 4.2.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f'' (x) = 4 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 4.2.10

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))]$ .

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun de $d$ .

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Étape 4.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 4.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 4.3.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par chaque élément de la matrice.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (f x), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.3.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.3.3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $f x$ .

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 4.3.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 4.3.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 4.3.3.2

Multipliez $\frac{1}{x} (f y)$ .

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Étape 4.3.3.2.1

Associez $f$ et $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f}{x} \cdot y)) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 4.3.3.2.2

Associez $\frac{f}{x}$ et $y$ .

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Étape 4.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Étape 4.5

Simplifiez

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Étape 4.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{1}{x^{3}} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Étape 4.5.2

Associez des termes.

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Étape 4.5.2.1

Associez $- 8$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8}{x^{3}} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Étape 4.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{8}{x^{3}} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Étape 4.5.2.3

Additionnez $- \frac{8}{x^{3}} + \frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{8}{x^{3}} + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x}))$

Étape 5

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{4}{x^{2}} + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 1 = 0$

Étape 6

Comme il n’y a pas de valeur de $x$ qui rende la dérivée première égale à $0$ , il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 7

Aucun extremum local

Étape 8