Calcul infinitésimal Exemples

$f (x, y) = x y + y - 16 x$

Étape 1

Écrivez $f (x, y) - x y - y + 16 x = 0$ comme une fonction.

$f (x) = f (x, y) - x y - y + 16 x$

Étape 2

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Soustrayez $x y$ des deux côtés de l’équation.

$f (x, y) - x y = y - 16 x$

Étape 2.2

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$f (x, y) - x y - y = - 16 x$

Étape 2.3

Ajoutez $16 x$ aux deux côtés de l’équation.

$f (x, y) - x y - y + 16 x = 0$

Étape 3

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $f (x, y) - x y - y + 16 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$ .

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Étape 3.2

Multipliez $f$ par chaque élément de la matrice.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x y$ par rapport à $x$ est $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Étape 3.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Étape 3.4

Comme $- y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + \frac{d}{d x} [16 x]$

Étape 3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

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Étape 3.5.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 x$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \cdot 1$

Étape 3.5.3

Multipliez $16$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Additionnez $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y$ et $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 16$

Étape 3.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- y + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] + 16$

Étape 4

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 4.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- y) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Étape 4.1.2

Comme $- y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))]$ .

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $d$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (16)$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (16)$

Étape 4.2.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par chaque élément de la matrice.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (f x), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Étape 4.2.3

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.2.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.2.3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $f x$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Étape 4.2.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Étape 4.2.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Étape 4.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{x} (f y)$ .

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Étape 4.2.3.2.1

Associez $f$ et $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f}{x} \cdot y)) + \frac{d}{d x} (16)$

Étape 4.2.3.2.2

Associez $\frac{f}{x}$ et $y$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + \frac{d}{d x} (16)$

Étape 4.3

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Étape 4.4

Associez des termes.

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Étape 4.4.1

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Étape 4.4.2

Additionnez $\frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x}))$

Étape 5

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16 = 0$

Étape 6

Déterminez la dérivée première.

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Étape 6.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 6.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $f (x, y) - x y - y + 16 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$ .

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Étape 6.1.2

Multipliez $f$ par chaque élément de la matrice.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Étape 6.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Étape 6.1.3.1

Comme $- y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x y$ par rapport à $x$ est $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Étape 6.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Étape 6.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Étape 6.1.4

Comme $- y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + \frac{d}{d x} [16 x]$

Étape 6.1.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

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Étape 6.1.5.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 x$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \cdot 1$

Étape 6.1.5.3

Multipliez $16$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16$

Étape 6.1.6

Simplifiez

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Étape 6.1.6.1

Additionnez $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y$ et $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 16$

Étape 6.1.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - y + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] + 16$

Étape 6.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16$ .

$- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16$

Étape 7

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16 = 0$ .

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Étape 7.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16 = 0$

Étape 7.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $d$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$- y + \frac{d}{d x} \cdot (f x, f y) + 16 = 0$

Étape 7.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$- y + \frac{1}{x} \cdot (f x, f y) + 16 = 0$

Étape 7.2.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par chaque élément de la matrice.

$- y + (\frac{1}{x} (f x), \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

Étape 7.2.3

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 7.2.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.2.3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $f x$ .

$- y + (\frac{1}{x} (x f), \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

Étape 7.2.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$- y + (\frac{1}{x} (x f), \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

Étape 7.2.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$- y + (f, \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{x} (f y)$ .

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Étape 7.2.3.2.1

Associez $f$ et $\frac{1}{x}$ .

$- y + (f, \frac{f}{x} y) + 16 = 0$

Étape 7.2.3.2.2

Associez $\frac{f}{x}$ et $y$ .

$- y + (f, \frac{f y}{x}) + 16 = 0$

Étape 7.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.3.1

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$(f, \frac{f y}{x}) + 16 = y$

Étape 7.3.2

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$(f, \frac{f y}{x}) = y - 16$

Étape 8

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 8.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{d}{d x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$d x = 0$

Étape 8.2

Divisez chaque terme dans $d x = 0$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Divisez chaque terme dans $d x = 0$ par $x$ .

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

Étape 8.2.2.1.2

Divisez $d$ par $1$ .

$d = \frac{0}{x}$

Étape 8.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.3.1

Divisez $0$ par $x$ .

$d = 0$

Étape 8.3

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$y = 0$

Étape 9

Points critiques à évaluer.

$x = 0$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{d}{d (0)} ((f, \frac{f y}{0}))$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 11.1

Multipliez $d$ par $0$ .

$\frac{d}{0} (f, \frac{f y}{0})$

Étape 11.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 12

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 13