Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{5} e^{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x^{5} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4})$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{x} x^{5} + 5 e^{x} x^{4}$

Étape 1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x^{5} + 5 e^{x} x^{4}$ .

$f' (x) = x^{5} e^{x} + 5 x^{4} e^{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{5} e^{x} + 5 x^{4} e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{5} e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4} e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5} e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4} e^{x}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{5} e^{x}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x^{5} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4} e^{x}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4} e^{x}]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4} e^{x}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{4} e^{x}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{4} e^{x}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{4} e^{x}]$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 5 \frac{d}{d x} [x^{4} e^{x}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 5 (x^{4} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 5 (x^{4} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 5 (x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}))$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 5 (x^{4} e^{x}) + 5 (e^{x} (4 x^{3}))$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez $4$ par $5$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 5 x^{4} e^{x} + 20 (e^{x} (x^{3}))$

Étape 2.4.2.2

Additionnez $e^{x} (5 x^{4})$ et $5 x^{4} e^{x}$ .

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Étape 2.4.2.2.1

Déplacez $e^{x}$ .

$x^{5} e^{x} + 5 x^{4} e^{x} + 5 x^{4} e^{x} + 20 e^{x} x^{3}$

Étape 2.4.2.2.2

Additionnez $5 x^{4} e^{x}$ et $5 x^{4} e^{x}$ .

$x^{5} e^{x} + 10 x^{4} e^{x} + 20 e^{x} x^{3}$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{x} x^{5} + 10 e^{x} x^{4} + 20 e^{x} x^{3}$

Étape 2.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x^{5} + 10 e^{x} x^{4} + 20 e^{x} x^{3}$ .

$f'' (x) = x^{5} e^{x} + 10 x^{4} e^{x} + 20 x^{3} e^{x}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{5} e^{x} + 10 x^{4} e^{x} + 20 x^{3} e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{5} e^{x}] + \frac{d}{d x} [10 x^{4} e^{x}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3} e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5} e^{x}] + \frac{d}{d x} [10 x^{4} e^{x}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3} e^{x}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{5} e^{x}]$ .

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x^{5} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [10 x^{4} e^{x}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3} e^{x}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [10 x^{4} e^{x}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3} e^{x}]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [10 x^{4} e^{x}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3} e^{x}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [10 x^{4} e^{x}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x^{4} e^{x}$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x^{4} e^{x}]$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 10 \frac{d}{d x} [x^{4} e^{x}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3} e^{x}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 10 (x^{4} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [20 x^{3} e^{x}]$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 10 (x^{4} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [20 x^{3} e^{x}]$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 10 (x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [20 x^{3} e^{x}]$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [20 x^{3} e^{x}]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $20 x^{3} e^{x}$ par rapport à $x$ est $20 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}]$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 10 (x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3})) + 20 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}]$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 10 (x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3})) + 20 (x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.4.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 10 (x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3})) + 20 (x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 10 (x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3})) + 20 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}))$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 10 (x^{4} e^{x}) + 10 (e^{x} (4 x^{3})) + 20 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}))$

Étape 3.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 10 (x^{4} e^{x}) + 10 (e^{x} (4 x^{3})) + 20 (x^{3} e^{x}) + 20 (e^{x} (3 x^{2}))$

Étape 3.5.3

Associez des termes.

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Étape 3.5.3.1

Multipliez $4$ par $10$ .

$x^{5} e^{x} + e^{x} (5 x^{4}) + 10 x^{4} e^{x} + 40 (e^{x} (x^{3})) + 20 (x^{3} e^{x}) + 20 (e^{x} (3 x^{2}))$

Étape 3.5.3.2

Additionnez $e^{x} (5 x^{4})$ et $10 x^{4} e^{x}$ .

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Étape 3.5.3.2.1

Déplacez $e^{x}$ .

$x^{5} e^{x} + 5 x^{4} e^{x} + 10 x^{4} e^{x} + 40 e^{x} x^{3} + 20 (x^{3} e^{x}) + 20 (e^{x} (3 x^{2}))$

Étape 3.5.3.2.2

Additionnez $5 x^{4} e^{x}$ et $10 x^{4} e^{x}$ .

$x^{5} e^{x} + 15 x^{4} e^{x} + 40 e^{x} x^{3} + 20 (x^{3} e^{x}) + 20 (e^{x} (3 x^{2}))$

Étape 3.5.3.3

Multipliez $3$ par $20$ .

$x^{5} e^{x} + 15 x^{4} e^{x} + 40 e^{x} x^{3} + 20 x^{3} e^{x} + 60 (e^{x} (x^{2}))$

Étape 3.5.3.4

Additionnez $40 e^{x} x^{3}$ et $20 x^{3} e^{x}$ .

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Étape 3.5.3.4.1

Déplacez $e^{x}$ .

$x^{5} e^{x} + 15 x^{4} e^{x} + 40 x^{3} e^{x} + 20 x^{3} e^{x} + 60 e^{x} x^{2}$

Étape 3.5.3.4.2

Additionnez $40 x^{3} e^{x}$ et $20 x^{3} e^{x}$ .

$x^{5} e^{x} + 15 x^{4} e^{x} + 60 x^{3} e^{x} + 60 e^{x} x^{2}$

Étape 3.5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{x} x^{5} + 15 e^{x} x^{4} + 60 e^{x} x^{3} + 60 e^{x} x^{2}$

Étape 3.5.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x^{5} + 15 e^{x} x^{4} + 60 e^{x} x^{3} + 60 e^{x} x^{2}$ .

$f''' (x) = x^{5} e^{x} + 15 x^{4} e^{x} + 60 x^{3} e^{x} + 60 x^{2} e^{x}$