Calcul infinitésimal Exemples

$y = \cot (9 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cot (x)$ et $g (x) = 9 x$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $9 x$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [9 x]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\cot (u)$ par rapport à $u$ est $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [9 x]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $9 x$ .

$- \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc^{2} (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.2

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$- 9 \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 9 \csc^{2} (9 x) \cdot 1$

Étape 1.2.4

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$f' (x) = - 9 \csc^{2} (9 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 \csc^{2} (9 x)$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)]$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \csc (9 x)$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\csc (9 x)$ .

$- 9 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (9 x)])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 9 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\csc (9 x)])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\csc (9 x)$ .

$- 9 (2 \csc (9 x) \frac{d}{d x} [\csc (9 x)])$

Étape 2.3

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$- 18 (\csc (9 x) \frac{d}{d x} [\csc (9 x)])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \csc (x)$ et $g (x) = 9 x$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $9 x$ .

$- 18 \csc (9 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [9 x])$

Étape 2.4.2

La dérivée de $\csc (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$- 18 \csc (9 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [9 x])$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $9 x$ .

$- 18 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])$

Étape 2.5

Multipliez $- 1$ par $- 18$ .

$18 \csc (9 x) (\csc (9 x) \cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])$

Étape 2.6

Élevez $\csc (9 x)$ à la puissance $1$ .

$18 (\csc^{1} (9 x) \csc (9 x)) (\cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])$

Étape 2.7

Élevez $\csc (9 x)$ à la puissance $1$ .

$18 (\csc^{1} (9 x) \csc^{1} (9 x)) (\cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])$

Étape 2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$18 {\csc (9 x)}^{1 + 1} (\cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])$

Étape 2.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$18 \csc^{2} (9 x) (\cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])$

Étape 2.10

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 \csc^{2} (9 x) \cot (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.11

Multipliez $9$ par $18$ .

$162 \csc^{2} (9 x) \cot (9 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$162 \csc^{2} (9 x) \cot (9 x) \cdot 1$

Étape 2.13

Multipliez $162$ par $1$ .

$f'' (x) = 162 \csc^{2} (9 x) \cot (9 x)$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $162$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $162 \csc^{2} (9 x) \cot (9 x)$ par rapport à $x$ est $162 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x) \cot (9 x)]$ .

$162 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x) \cot (9 x)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \csc^{2} (9 x)$ et $g (x) = \cot (9 x)$ .

$162 (\csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [\cot (9 x)] + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cot (x)$ et $g (x) = 9 x$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $9 x$ .

$162 (\csc^{2} (9 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cot (u_{1})] \frac{d}{d x} [9 x]) + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

Étape 3.3.2

La dérivée de $\cot (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \csc^{2} (u_{1})$ .

$162 (\csc^{2} (9 x) (- \csc^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [9 x]) + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $9 x$ .

$162 (\csc^{2} (9 x) (- \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]) + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

Étape 3.4

Multipliez $\csc^{2} (9 x)$ par $\csc^{2} (9 x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1

Déplacez $\csc^{2} (9 x)$ .

$162 (\csc^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x) (- \frac{d}{d x} [9 x]) + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

Étape 3.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$162 ({\csc (9 x)}^{2 + 2} (- \frac{d}{d x} [9 x]) + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

Étape 3.4.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$162 (\csc^{4} (9 x) (- \frac{d}{d x} [9 x]) + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

Étape 3.5

Différenciez.

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Étape 3.5.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$162 (\csc^{4} (9 x) (- (9 \frac{d}{d x} [x])) + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

Étape 3.5.2

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$162 (\csc^{4} (9 x) (- 9 \frac{d}{d x} [x]) + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

Étape 3.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$162 (\csc^{4} (9 x) (- 9 \cdot 1) + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

Étape 3.5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.4.1

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$162 (\csc^{4} (9 x) \cdot - 9 + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

Étape 3.5.4.2

Déplacez $- 9$ à gauche de $\csc^{4} (9 x)$ .

$162 (- 9 \cdot \csc^{4} (9 x) + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \csc (9 x)$ .

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Étape 3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\csc (9 x)$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) + \cot (9 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (9 x)]))$

Étape 3.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) + \cot (9 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\csc (9 x)]))$

Étape 3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\csc (9 x)$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) + \cot (9 x) (2 \csc (9 x) \frac{d}{d x} [\csc (9 x)]))$

Étape 3.7

Déplacez $2$ à gauche de $\cot (9 x)$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) + 2 \cdot \cot (9 x) \csc (9 x) \frac{d}{d x} [\csc (9 x)])$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \csc (x)$ et $g (x) = 9 x$ .

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Étape 3.8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $9 x$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) + 2 \cot (9 x) \csc (9 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\csc (u_{3})] \frac{d}{d x} [9 x]))$

Étape 3.8.2

La dérivée de $\csc (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $- \csc (u_{3}) \cot (u_{3})$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) + 2 \cot (9 x) \csc (9 x) (- \csc (u_{3}) \cot (u_{3}) \frac{d}{d x} [9 x]))$

Étape 3.8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $9 x$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) + 2 \cot (9 x) \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]))$

Étape 3.9

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 2 \cot (9 x) \csc (9 x) (\csc (9 x) \cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]))$

Étape 3.10

Élevez $\cot (9 x)$ à la puissance $1$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 2 (\cot^{1} (9 x) \cot (9 x)) \csc (9 x) (\csc (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]))$

Étape 3.11

Élevez $\cot (9 x)$ à la puissance $1$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 2 (\cot^{1} (9 x) \cot^{1} (9 x)) \csc (9 x) (\csc (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]))$

Étape 3.12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 2 {\cot (9 x)}^{1 + 1} \csc (9 x) (\csc (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]))$

Étape 3.13

Additionnez $1$ et $1$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 2 \cot^{2} (9 x) \csc (9 x) (\csc (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]))$

Étape 3.14

Élevez $\csc (9 x)$ à la puissance $1$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 2 \cot^{2} (9 x) (\csc^{1} (9 x) \csc (9 x)) \frac{d}{d x} [9 x])$

Étape 3.15

Élevez $\csc (9 x)$ à la puissance $1$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 2 \cot^{2} (9 x) (\csc^{1} (9 x) \csc^{1} (9 x)) \frac{d}{d x} [9 x])$

Étape 3.16

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 2 \cot^{2} (9 x) {\csc (9 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [9 x])$

Étape 3.17

Additionnez $1$ et $1$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 2 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])$

Étape 3.18

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 2 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.19

Multipliez $9$ par $- 2$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 18 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.20

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 18 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x) \cdot 1)$

Étape 3.21

Multipliez $- 18$ par $1$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 18 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x))$

Étape 3.22

Simplifiez

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Étape 3.22.1

Appliquez la propriété distributive.

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x)) + 162 (- 18 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x))$

Étape 3.22.2

Associez des termes.

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Étape 3.22.2.1

Multipliez $- 9$ par $162$ .

$- 1458 \csc^{4} (9 x) + 162 (- 18 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x))$

Étape 3.22.2.2

Multipliez $- 18$ par $162$ .

$- 1458 \csc^{4} (9 x) - 2916 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x)$

Étape 3.22.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f''' (x) = - 2916 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x) - 1458 \csc^{4} (9 x)$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2916 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x) - 1458 \csc^{4} (9 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2916 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x)] + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2916 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x)] + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2916 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x)]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $- 2916$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2916 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x)$ par rapport à $x$ est $- 2916 \frac{d}{d x} [\cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x)]$ .

$- 2916 \frac{d}{d x} [\cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x)] + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cot^{2} (9 x)$ et $g (x) = \csc^{2} (9 x)$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)] + \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (9 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Étape 4.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \csc (9 x)$ .

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Étape 4.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\csc (9 x)$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (9 x)]) + \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (9 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Étape 4.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\csc (9 x)]) + \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (9 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Étape 4.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\csc (9 x)$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) \frac{d}{d x} [\csc (9 x)]) + \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (9 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Étape 4.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \csc (x)$ et $g (x) = 9 x$ .

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Étape 4.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $9 x$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [9 x])) + \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (9 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Étape 4.2.4.2

La dérivée de $\csc (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [9 x])) + \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (9 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Étape 4.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $9 x$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])) + \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (9 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Étape 4.2.5

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x]))) + \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (9 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Étape 4.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \cdot 1))) + \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (9 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Étape 4.2.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cot (9 x)$ .

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Étape 4.2.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $\cot (9 x)$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \cdot 1))) + \csc^{2} (9 x) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (9 x)])) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Étape 4.2.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ est $n {u_{3}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \cdot 1))) + \csc^{2} (9 x) (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\cot (9 x)])) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Étape 4.2.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $\cot (9 x)$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \cdot 1))) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\cot (9 x)])) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Étape 4.2.8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cot (x)$ et $g (x) = 9 x$ .

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Étape 4.2.8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{4}$ comme $9 x$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \cdot 1))) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (\frac{d}{d u_{4}} [\cot (u_{4})] \frac{d}{d x} [9 x]))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Étape 4.2.8.2

La dérivée de $\cot (u_{4})$ par rapport à $u_{4}$ est $- \csc^{2} (u_{4})$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \cdot 1))) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (u_{4}) \frac{d}{d x} [9 x]))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Étape 4.2.8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{4}$ par $9 x$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \cdot 1))) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Étape 4.2.9

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \cdot 1))) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x])))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Étape 4.2.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \cdot 1))) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Étape 4.2.11

Multipliez $9$ par $1$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) \cdot 9)) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Étape 4.2.12

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- 9 \csc (9 x) \cot (9 x))) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Étape 4.2.13

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (- 18 \csc (9 x) (\csc (9 x) \cot (9 x))) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Étape 4.2.14

Élevez $\csc (9 x)$ à la puissance $1$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (- 18 (\csc^{1} (9 x) \csc (9 x)) \cot (9 x)) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Étape 4.2.15

Élevez $\csc (9 x)$ à la puissance $1$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (- 18 (\csc^{1} (9 x) \csc^{1} (9 x)) \cot (9 x)) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Étape 4.2.16

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (- 18 {\csc (9 x)}^{1 + 1} \cot (9 x)) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Étape 4.2.17

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x) \cot (9 x)) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Étape 4.2.18

Multipliez $\cot^{2} (9 x)$ par $\cot (9 x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.18.1

Déplacez $\cot (9 x)$ .

$- 2916 (\cot (9 x) \cot^{2} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Étape 4.2.18.2

Multipliez $\cot (9 x)$ par $\cot^{2} (9 x)$ .

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Étape 4.2.18.2.1

Élevez $\cot (9 x)$ à la puissance $1$ .

$- 2916 (\cot^{1} (9 x) \cot^{2} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Étape 4.2.18.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2916 ({\cot (9 x)}^{1 + 2} (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Étape 4.2.18.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Étape 4.2.19

Multipliez $9$ par $1$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) \cdot 9))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Étape 4.2.20

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- 9 \csc^{2} (9 x)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Étape 4.2.21

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{2} (9 x) (- 18 \cot (9 x) \csc^{2} (9 x))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Étape 4.2.22

Multipliez $\csc^{2} (9 x)$ par $\csc^{2} (9 x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.22.1

Déplacez $\csc^{2} (9 x)$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Étape 4.2.22.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + {\csc (9 x)}^{2 + 2} (- 18 \cot (9 x))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Étape 4.2.22.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$ .

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Étape 4.3.1

Comme $- 1458$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1458 \csc^{4} (9 x)$ par rapport à $x$ est $- 1458 \frac{d}{d x} [\csc^{4} (9 x)]$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 \frac{d}{d x} [\csc^{4} (9 x)]$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = \csc (9 x)$ .

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Étape 4.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{5}$ comme $\csc (9 x)$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{4}] \frac{d}{d x} [\csc (9 x)])$

Étape 4.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{n}]$ est $n {u_{5}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (4 {u_{5}}^{3} \frac{d}{d x} [\csc (9 x)])$

Étape 4.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{5}$ par $\csc (9 x)$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (4 \csc^{3} (9 x) \frac{d}{d x} [\csc (9 x)])$

Étape 4.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \csc (x)$ et $g (x) = 9 x$ .

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Étape 4.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{6}$ comme $9 x$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (4 \csc^{3} (9 x) (\frac{d}{d u_{6}} [\csc (u_{6})] \frac{d}{d x} [9 x]))$

Étape 4.3.3.2

La dérivée de $\csc (u_{6})$ par rapport à $u_{6}$ est $- \csc (u_{6}) \cot (u_{6})$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (4 \csc^{3} (9 x) (- \csc (u_{6}) \cot (u_{6}) \frac{d}{d x} [9 x]))$

Étape 4.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{6}$ par $9 x$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (4 \csc^{3} (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]))$

Étape 4.3.4

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (4 \csc^{3} (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x])))$

Étape 4.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (4 \csc^{3} (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \cdot 1)))$

Étape 4.3.6

Multipliez $9$ par $1$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (4 \csc^{3} (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) \cdot 9))$

Étape 4.3.7

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (4 \csc^{3} (9 x) (- 9 \csc (9 x) \cot (9 x)))$

Étape 4.3.8

Multipliez $- 9$ par $4$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (- 36 \csc^{3} (9 x) (\csc (9 x) \cot (9 x)))$

Étape 4.3.9

Élevez $\csc (9 x)$ à la puissance $1$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (- 36 (\csc^{1} (9 x) \csc^{3} (9 x)) \cot (9 x))$

Étape 4.3.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (- 36 {\csc (9 x)}^{1 + 3} \cot (9 x))$

Étape 4.3.11

Additionnez $1$ et $3$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (- 36 \csc^{4} (9 x) \cot (9 x))$

Étape 4.3.12

Multipliez $- 36$ par $- 1458$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) + 52488 \csc^{4} (9 x) \cot (9 x)$

Étape 4.4

Simplifiez

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Étape 4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x))) - 2916 (\csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) + 52488 \csc^{4} (9 x) \cot (9 x)$

Étape 4.4.2

Associez des termes.

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Étape 4.4.2.1

Multipliez $- 18$ par $- 2916$ .

$52488 (\cot^{3} (9 x) (\csc^{2} (9 x))) - 2916 (\csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) + 52488 \csc^{4} (9 x) \cot (9 x)$

Étape 4.4.2.2

Multipliez $- 18$ par $- 2916$ .

$52488 \cot^{3} (9 x) \csc^{2} (9 x) + 52488 (\csc^{4} (9 x) (\cot (9 x))) + 52488 \csc^{4} (9 x) \cot (9 x)$

Étape 4.4.2.3

Additionnez $52488 \csc^{4} (9 x) \cot (9 x)$ et $52488 \csc^{4} (9 x) \cot (9 x)$ .

$f^{4} (x) = 52488 \cot^{3} (9 x) \csc^{2} (9 x) + 104976 \csc^{4} (9 x) \cot (9 x)$