Calcul infinitésimal Exemples

$y = 4 x^{3} \sqrt{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3} x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2

Multipliez $x^{3}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 (x^{\frac{1}{2}} x^{3})]$

Étape 1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2} + 3}]$

Étape 1.2.3

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}]$

Étape 1.2.4

Associez $3$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}]$

Étape 1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1 + 3 \cdot 2}{2}}]$

Étape 1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1 + 6}{2}}]$

Étape 1.2.6.2

Additionnez $1$ et $6$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{7}{2}}]$

Étape 1.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{\frac{7}{2}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{7}{2}$ .

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1})$

Étape 1.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 1.6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}})$

Étape 1.8.2

Soustrayez $2$ de $7$ .

$4 (\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}})$

Étape 1.9

Associez $\frac{7}{2}$ et $x^{\frac{5}{2}}$ .

$4 \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$

Étape 1.10

Associez $4$ et $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 (7 x^{\frac{5}{2}})}{2}$

Étape 1.11

Multipliez $7$ par $4$ .

$\frac{28 x^{\frac{5}{2}}}{2}$

Étape 1.12

Factorisez $2$ à partir de $28 x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 (14 x^{\frac{5}{2}})}{2}$

Étape 1.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.13.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (14 x^{\frac{5}{2}})}{2 (1)}$

Étape 1.13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (14 x^{\frac{5}{2}})}{2 \cdot 1}$

Étape 1.13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{14 x^{\frac{5}{2}}}{1}$

Étape 1.13.4

Divisez $14 x^{\frac{5}{2}}$ par $1$ .

$f' (x) = 14 x^{\frac{5}{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $14 x^{\frac{5}{2}}$ par rapport à $x$ est $14 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$14 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{5}{2}$ .

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

Étape 2.6.2

Soustrayez $2$ de $5$ .

$14 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

Étape 2.7

Associez $\frac{5}{2}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$14 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 2.8

Associez $14$ et $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{14 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Étape 2.9

Multipliez $5$ par $14$ .

$\frac{70 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 2.10

Factorisez $2$ à partir de $70 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (35 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Étape 2.11

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.11.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (35 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)}$

Étape 2.11.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (35 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.11.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{1}$

Étape 2.11.4

Divisez $35 x^{\frac{3}{2}}$ par $1$ .

$f'' (x) = 35 x^{\frac{3}{2}}$