Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{5 x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{5 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{1}{5} (- x^{- 2})$

Étape 1.4

Associez les fractions.

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Étape 1.4.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{- 2}$ .

$- \frac{x^{- 2}}{5}$

Étape 1.4.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{5 x^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $- \frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{5 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Étape 2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Étape 2.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$- \frac{1}{5} (- 2 x^{- 3})$

Étape 2.4

Associez les fractions.

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Étape 2.4.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2 (\frac{1}{5}) x^{- 3}$

Étape 2.4.2

Associez $2$ et $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{5} x^{- 3}$

Étape 2.4.3

Associez $\frac{2}{5}$ et $x^{- 3}$ .

$\frac{2 x^{- 3}}{5}$

Étape 2.4.4

Placez $x^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{5 x^{3}}$