Calcul infinitésimal Exemples

$f (θ) = 3 \tan^{2} (θ)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Comme $3$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $3 \tan^{2} (θ)$ par rapport à $θ$ est $3 \frac{d}{d θ} [\tan^{2} (θ)]$ .

$3 \frac{d}{d θ} [\tan^{2} (θ)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ est $f' (g (θ)) g' (θ)$ où $f (θ) = θ^{2}$ et $g (θ) = \tan (θ)$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\tan (θ)$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\tan (θ)])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 u \frac{d}{d θ} [\tan (θ)])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\tan (θ)$ .

$3 (2 \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)])$

Étape 1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 (\tan (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)])$

Étape 1.4

La dérivée de $\tan (θ)$ par rapport à $θ$ est $\sec^{2} (θ)$ .

$6 \tan (θ) \sec^{2} (θ)$

Étape 1.5

Réorganisez les facteurs de $6 \tan (θ) \sec^{2} (θ)$ .

$f' (θ) = 6 \sec^{2} (θ) \tan (θ)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $6 \sec^{2} (θ) \tan (θ)$ par rapport à $θ$ est $6 \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ) \tan (θ)]$ .

$6 \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ) \tan (θ)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ est $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ où $f (θ) = \sec^{2} (θ)$ et $g (θ) = \tan (θ)$ .

$6 (\sec^{2} (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)] + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ)])$

Étape 2.3

La dérivée de $\tan (θ)$ par rapport à $θ$ est $\sec^{2} (θ)$ .

$6 (\sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ) + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ)])$

Étape 2.4

Multipliez $\sec^{2} (θ)$ par $\sec^{2} (θ)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 ({\sec (θ)}^{2 + 2} + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ)])$

Étape 2.4.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ)])$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ est $f' (g (θ)) g' (θ)$ où $f (θ) = θ^{2}$ et $g (θ) = \sec (θ)$ .

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Étape 2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sec (θ)$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + \tan (θ) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]))$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + \tan (θ) (2 u \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]))$

Étape 2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sec (θ)$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + \tan (θ) (2 \sec (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]))$

Étape 2.6

Déplacez $2$ à gauche de $\tan (θ)$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \cdot \tan (θ) \sec (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)])$

Étape 2.7

La dérivée de $\sec (θ)$ par rapport à $θ$ est $\sec (θ) \tan (θ)$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ)))$

Étape 2.8

Élevez $\tan (θ)$ à la puissance $1$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 (\tan^{1} (θ) \tan (θ)) \sec (θ) \sec (θ))$

Étape 2.9

Élevez $\tan (θ)$ à la puissance $1$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 (\tan^{1} (θ) \tan^{1} (θ)) \sec (θ) \sec (θ))$

Étape 2.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 {\tan (θ)}^{1 + 1} \sec (θ) \sec (θ))$

Étape 2.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) \sec (θ) \sec (θ))$

Étape 2.12

Élevez $\sec (θ)$ à la puissance $1$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) (\sec^{1} (θ) \sec (θ)))$

Étape 2.13

Élevez $\sec (θ)$ à la puissance $1$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) (\sec^{1} (θ) \sec^{1} (θ)))$

Étape 2.14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) {\sec (θ)}^{1 + 1})$

Étape 2.15

Additionnez $1$ et $1$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) \sec^{2} (θ))$

Étape 2.16

Simplifiez

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Étape 2.16.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 \sec^{4} (θ) + 6 (2 \tan^{2} (θ) \sec^{2} (θ))$

Étape 2.16.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$6 \sec^{4} (θ) + 12 \tan^{2} (θ) \sec^{2} (θ)$

Étape 2.16.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (θ) = 12 \sec^{2} (θ) \tan^{2} (θ) + 6 \sec^{4} (θ)$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (θ)$ par rapport à $θ$ est $12 \sec^{2} (θ) \tan^{2} (θ) + 6 \sec^{4} (θ)$ .

$12 \sec^{2} (θ) \tan^{2} (θ) + 6 \sec^{4} (θ)$