Calcul infinitésimal Exemples

$z = {(3 x + 1)}^{4} {(5 x - 2)}^{3}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ est $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ où $f (z) = {(3 x + 1)}^{4}$ et $g (z) = {(5 x - 2)}^{3}$ .

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [{(5 x - 2)}^{3}] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

Étape 2

Utilisez le théorème du binôme.

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [{(5 x)}^{3} + 3 {(5 x)}^{2} \cdot - 2 + 3 (5 x) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Appliquez la règle de produit à $5 x$ .

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [5^{3} x^{3} + 3 {(5 x)}^{2} \cdot - 2 + 3 (5 x) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

Étape 3.2

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [125 x^{3} + 3 {(5 x)}^{2} \cdot - 2 + 3 (5 x) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

Étape 3.3

Appliquez la règle de produit à $5 x$ .

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [125 x^{3} + 3 (5^{2} x^{2}) \cdot - 2 + 3 (5 x) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

Étape 3.4

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [125 x^{3} + 3 (25 x^{2}) \cdot - 2 + 3 (5 x) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

Étape 3.5

Multipliez $25$ par $3$ .

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [125 x^{3} + 75 x^{2} \cdot - 2 + 3 (5 x) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

Étape 3.6

Multipliez $- 2$ par $75$ .

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [125 x^{3} - 150 x^{2} + 3 (5 x) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

Étape 3.7

Multipliez $5$ par $3$ .

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [125 x^{3} - 150 x^{2} + 15 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

Étape 3.8

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [125 x^{3} - 150 x^{2} + 15 x \cdot 4 + {(- 2)}^{3}] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

Étape 3.9

Multipliez $4$ par $15$ .

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [125 x^{3} - 150 x^{2} + 60 x + {(- 2)}^{3}] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

Étape 3.10

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

${(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d z} [125 x^{3} - 150 x^{2} + 60 x - 8] + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

Étape 4

Comme $125 x^{3} - 150 x^{2} + 60 x - 8$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $125 x^{3} - 150 x^{2} + 60 x - 8$ par rapport à $z$ est $0$ .

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x + 1)}^{4}]$

Étape 5

Utilisez le théorème du binôme.

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [{(3 x)}^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 1 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 1^{2} + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [3^{4} x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 1 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 1^{2} + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

Étape 6.2

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 1 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 1^{2} + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

Étape 6.3

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 4 (3^{3} x^{3}) \cdot 1 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 1^{2} + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

Étape 6.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 4 (27 x^{3}) \cdot 1 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 1^{2} + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

Étape 6.5

Multipliez $27$ par $4$ .

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 108 x^{3} \cdot 1 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 1^{2} + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

Étape 6.6

Multipliez $108$ par $1$ .

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 108 x^{3} + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 1^{2} + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

Étape 6.7

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 108 x^{3} + 6 (3^{2} x^{2}) \cdot 1^{2} + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

Étape 6.8

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 108 x^{3} + 6 (9 x^{2}) \cdot 1^{2} + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

Étape 6.9

Multipliez $9$ par $6$ .

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 108 x^{3} + 54 x^{2} \cdot 1^{2} + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

Étape 6.10

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 108 x^{3} + 54 x^{2} \cdot 1 + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

Étape 6.11

Multipliez $54$ par $1$ .

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 108 x^{3} + 54 x^{2} + 4 (3 x) \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

Étape 6.12

Multipliez $3$ par $4$ .

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 108 x^{3} + 54 x^{2} + 12 x \cdot 1^{3} + 1^{4}]$

Étape 6.13

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 108 x^{3} + 54 x^{2} + 12 x \cdot 1 + 1^{4}]$

Étape 6.14

Multipliez $12$ par $1$ .

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 108 x^{3} + 54 x^{2} + 12 x + 1^{4}]$

Étape 6.15

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \frac{d}{d z} [81 x^{4} + 108 x^{3} + 54 x^{2} + 12 x + 1]$

Étape 7

Comme $81 x^{4} + 108 x^{3} + 54 x^{2} + 12 x + 1$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $81 x^{4} + 108 x^{3} + 54 x^{2} + 12 x + 1$ par rapport à $z$ est $0$ .

${(3 x + 1)}^{4} \cdot 0 + {(5 x - 2)}^{3} \cdot 0$

Étape 8

Associez des termes.

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Étape 8.1

Multipliez ${(3 x + 1)}^{4}$ par $0$ .

$0 + {(5 x - 2)}^{3} \cdot 0$

Étape 8.2

Multipliez ${(5 x - 2)}^{3}$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 8.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$