Calcul infinitésimal Exemples

$y = (7 \sqrt{x} + 4) x^{2}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 7 \sqrt{x} + 4$ et $g (x) = x^{2}$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [7 \sqrt{x} + 4]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} \frac{d}{d x} [7 \sqrt{x} + 4]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 \sqrt{x} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (\frac{d}{d x} [7 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 \sqrt{x}]$ .

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 3.2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 3.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 3.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 3.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 3.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (7 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 3.10

Associez $7$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (\frac{7 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 3.11

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} (\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Étape 4.2

Additionnez $\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$(7 \sqrt{x} + 4) (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$7 \sqrt{x} (2 x) + 4 (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2

Associez des termes.

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Étape 5.2.1

Multipliez $2$ par $7$ .

$14 \sqrt{x} x + 4 (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$14 x^{\frac{1}{2}} x + 4 (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$14 (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) + 4 (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$14 x^{1 + \frac{1}{2}} + 4 (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$14 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 4 (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$14 x^{\frac{2 + 1}{2}} + 4 (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2.7

Additionnez $2$ et $1$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 4 (2 x) + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2.8

Multipliez $2$ par $4$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + x^{2} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2.9

Associez $x^{2}$ et $\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{x^{2} \cdot 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2.10

Déplacez $7$ à gauche de $x^{2}$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 \cdot x^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5.2.11

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 5.2.12

Multipliez $x^{2}$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.12.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 (x^{- \frac{1}{2}} x^{2})}{2}$

Étape 5.2.12.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 x^{- \frac{1}{2} + 2}}{2}$

Étape 5.2.12.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}{2}$

Étape 5.2.12.4

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}{2}$

Étape 5.2.12.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}{2}$

Étape 5.2.12.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.12.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 x^{\frac{- 1 + 4}{2}}}{2}$

Étape 5.2.12.6.2

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$14 x^{\frac{3}{2}} + 8 x + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 5.2.13

Pour écrire $14 x^{\frac{3}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$8 x + 14 x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 5.2.14

Associez $14 x^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{2}{2}$ .

$8 x + \frac{14 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 5.2.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$8 x + \frac{14 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 5.2.16

Multipliez $2$ par $14$ .

$8 x + \frac{28 x^{\frac{3}{2}} + 7 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Étape 5.2.17

Additionnez $28 x^{\frac{3}{2}}$ et $7 x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x + \frac{35 x^{\frac{3}{2}}}{2}$