Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{n = 0}^{3} {(- \frac{1}{2})}^{n} \cdot (4)$

Étape 1

Développez la série pour chaque valeur de $n$ .

${(- \frac{1}{2})}^{0} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{1} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

${(- 1)}^{0} {(\frac{1}{2})}^{0} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{1} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Étape 2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

${(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{2^{0}} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{1} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Étape 2.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1 \frac{1^{0}}{2^{0}} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{1} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Étape 2.1.3

Multipliez $\frac{1^{0}}{2^{0}}$ par $1$ .

$\frac{1^{0}}{2^{0}} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{1} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Étape 2.1.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{2^{0}} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{1} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Étape 2.1.5

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{1} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{1} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Étape 2.1.6

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 2.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{1} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Étape 2.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$1 \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{1} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Étape 2.1.7

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + {(- \frac{1}{2})}^{1} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Étape 2.1.8

Simplifiez

$4 - \frac{1}{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Étape 2.1.9

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.9.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$4 + \frac{- 1}{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Étape 2.1.9.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$4 + \frac{- 1}{2} \cdot (2 (2)) + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Étape 2.1.9.3

Annulez le facteur commun.

$4 + \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Étape 2.1.9.4

Réécrivez l’expression.

$4 - 1 \cdot 2 + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Étape 2.1.10

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$4 - 2 + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Étape 2.1.11

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.11.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$4 - 2 + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Étape 2.1.11.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$4 - 2 + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Étape 2.1.12

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$4 - 2 + 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Étape 2.1.13

Multipliez $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$4 - 2 + \frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Étape 2.1.14

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 - 2 + \frac{1}{2^{2}} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Étape 2.1.15

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 - 2 + \frac{1}{4} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Étape 2.1.16

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.1.16.1

Annulez le facteur commun.

$4 - 2 + \frac{1}{4} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Étape 2.1.16.2

Réécrivez l’expression.

$4 - 2 + 1 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Étape 2.1.17

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.17.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$4 - 2 + 1 + {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Étape 2.1.17.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$4 - 2 + 1 + {(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}} \cdot 4$

Étape 2.1.18

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$4 - 2 + 1 - \frac{1^{3}}{2^{3}} \cdot 4$

Étape 2.1.19

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 - 2 + 1 - \frac{1}{2^{3}} \cdot 4$

Étape 2.1.20

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$4 - 2 + 1 - \frac{1}{8} \cdot 4$

Étape 2.1.21

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.1.21.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{8}$ dans le numérateur.

$4 - 2 + 1 + \frac{- 1}{8} \cdot 4$

Étape 2.1.21.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$4 - 2 + 1 + \frac{- 1}{4 (2)} \cdot 4$

Étape 2.1.21.3

Annulez le facteur commun.

$4 - 2 + 1 + \frac{- 1}{4 \cdot 2} \cdot 4$

Étape 2.1.21.4

Réécrivez l’expression.

$4 - 2 + 1 + \frac{- 1}{2}$

Étape 2.1.22

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 - 2 + 1 - \frac{1}{2}$

Étape 2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.2.1

Écrivez $4$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{4}{1} - 2 + 1 - \frac{1}{2}$

Étape 2.2.2

Multipliez $\frac{4}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{1} \cdot \frac{2}{2} - 2 + 1 - \frac{1}{2}$

Étape 2.2.3

Multipliez $\frac{4}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 2}{2} - 2 + 1 - \frac{1}{2}$

Étape 2.2.4

Écrivez $- 2$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1} + 1 - \frac{1}{2}$

Étape 2.2.5

Multipliez $\frac{- 2}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{2}{2} + 1 - \frac{1}{2}$

Étape 2.2.6

Multipliez $\frac{- 2}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + 1 - \frac{1}{2}$

Étape 2.2.7

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{1} - \frac{1}{2}$

Étape 2.2.8

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 2.2.9

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 \cdot 2 - 2 \cdot 2 + 2 - 1}{2}$

Étape 2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{8 - 2 \cdot 2 + 2 - 1}{2}$

Étape 2.4.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{8 - 4 + 2 - 1}{2}$

Étape 2.5

Soustrayez $4$ de $8$ .

$\frac{4 + 2 - 1}{2}$

Étape 2.6

Additionnez $4$ et $2$ .

$\frac{6 - 1}{2}$

Étape 2.7

Soustrayez $1$ de $6$ .

$\frac{5}{2}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{5}{2}$

Forme décimale :

$2.5$

Forme de nombre mixte :

$2 \frac{1}{2}$