Calcul infinitésimal Exemples

$1.4 \sum_{k = 1}^{10} 49 - {(- 7 + 1.4 k)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Réécrivez ${(- 7 + 1.4 k)}^{2}$ comme $(- 7 + 1.4 k) (- 7 + 1.4 k)$ .

$49 - ((- 7 + 1.4 k) (- 7 + 1.4 k))$

Étape 1.1.2

Développez $(- 7 + 1.4 k) (- 7 + 1.4 k)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$49 - (- 7 (- 7 + 1.4 k) + 1.4 k (- 7 + 1.4 k))$

Étape 1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$49 - (- 7 \cdot - 7 - 7 (1.4 k) + 1.4 k (- 7 + 1.4 k))$

Étape 1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$49 - (- 7 \cdot - 7 - 7 (1.4 k) + 1.4 k \cdot - 7 + 1.4 k (1.4 k))$

Étape 1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1.1

Multipliez $- 7$ par $- 7$ .

$49 - (49 - 7 (1.4 k) + 1.4 k \cdot - 7 + 1.4 k (1.4 k))$

Étape 1.1.3.1.2

Multipliez $1.4$ par $- 7$ .

$49 - (49 - 9.8 k + 1.4 k \cdot - 7 + 1.4 k (1.4 k))$

Étape 1.1.3.1.3

Multipliez $- 7$ par $1.4$ .

$49 - (49 - 9.8 k - 9.8 k + 1.4 k (1.4 k))$

Étape 1.1.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$49 - (49 - 9.8 k - 9.8 k + 1.4 \cdot 1.4 k \cdot k)$

Étape 1.1.3.1.5

Multipliez $k$ par $k$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1.5.1

Déplacez $k$ .

$49 - (49 - 9.8 k - 9.8 k + 1.4 \cdot 1.4 (k \cdot k))$

Étape 1.1.3.1.5.2

Multipliez $k$ par $k$ .

$49 - (49 - 9.8 k - 9.8 k + 1.4 \cdot 1.4 k^{2})$

Étape 1.1.3.1.6

Multipliez $1.4$ par $1.4$ .

$49 - (49 - 9.8 k - 9.8 k + 1.96 k^{2})$

Étape 1.1.3.2

Soustrayez $9.8 k$ de $- 9.8 k$ .

$49 - (49 - 19.6 k + 1.96 k^{2})$

Étape 1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$49 - 1 \cdot 49 - (- 19.6 k) - (1.96 k^{2})$

Étape 1.1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $49$ .

$49 - 49 - (- 19.6 k) - (1.96 k^{2})$

Étape 1.1.5.2

Multipliez $- 19.6$ par $- 1$ .

$49 - 49 + 19.6 k - (1.96 k^{2})$

Étape 1.1.5.3

Multipliez $1.96$ par $- 1$ .

$49 - 49 + 19.6 k - 1.96 k^{2}$

Étape 1.2

Soustrayez $49$ de $49$ .

$0 + 19.6 k - 1.96 k^{2}$

Étape 1.3

Additionnez $0$ et $19.6 k$ .

$19.6 k - 1.96 k^{2}$

Étape 1.4

Réécrivez l’addition.

$1.4 \sum_{k = 1}^{10} 19.6 k - 1.96 k^{2}$

Étape 2

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$1.4 \sum_{k = 1}^{10} 19.6 k - 1.96 k^{2} = (1.4 \cdot 19.6) \sum_{k = 1}^{10} k + (1.4 \cdot - 1.96) \sum_{k = 1}^{10} k^{2}$

Étape 3

Évaluez $(1.4 \cdot 19.6) \sum_{k = 1}^{10} k$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 3.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(1.4 \cdot 19.6) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

Étape 3.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Additionnez $10$ et $1$ .

$1.4 \cdot 19.6 \frac{10 \cdot 11}{2}$

Étape 3.3.2

Multipliez $10$ par $11$ .

$1.4 \cdot 19.6 \frac{110}{2}$

Étape 3.3.3

Multipliez $1.4$ par $19.6$ .

$27.44 (\frac{110}{2})$

Étape 3.3.4

Divisez $110$ par $2$ .

$27.44 \cdot 55$

Étape 3.3.5

Multipliez $27.44$ par $55$ .

$1509.2$

Étape 4

Évaluez $(1.4 \cdot - 1.96) \sum_{k = 1}^{10} k^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $2$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(1.4 \cdot - 1.96) (\frac{10 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)}{6})$

Étape 4.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.1

Additionnez $10$ et $1$ .

$1.4 \cdot - 1.96 \frac{10 \cdot 11 (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

Étape 4.3.1.2

Associez les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1.2.1

Multipliez $10$ par $11$ .

$1.4 \cdot - 1.96 \frac{110 (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

Étape 4.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $10$ .

$1.4 \cdot - 1.96 \frac{110 (20 + 1)}{6}$

Étape 4.3.1.3

Additionnez $20$ et $1$ .

$1.4 \cdot - 1.96 \frac{110 \cdot 21}{6}$

Étape 4.3.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Multipliez $110$ par $21$ .

$1.4 \cdot - 1.96 \frac{2310}{6}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $1.4$ par $- 1.96$ .

$- 2.744 (\frac{2310}{6})$

Étape 4.3.2.3

Divisez $2310$ par $6$ .

$- 2.744 \cdot 385$

Étape 4.3.2.4

Multipliez $- 2.744$ par $385$ .

$- 1056.44$

Étape 5

Additionnez les résultats des additions.

$1509.2 - 1056.44$

Étape 6

Soustrayez $1056.44$ de $1509.2$ .

$452.76$