Calcul infinitésimal Exemples

$- 5 {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{4}{5}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{4}{5}}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{4}{5}}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{4}{5}}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{4}{5}}$ et $g (x) = x^{2} - 24 x + 80$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 24 x + 80$ .

$- 5 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{5}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80])$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{4}{5}$ .

$- 5 (\frac{4}{5} u^{\frac{4}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80])$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 24 x + 80$ .

$- 5 (\frac{4}{5} {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{4}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80])$

Étape 1.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$- 5 (\frac{4}{5} {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80])$

Étape 1.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$- 5 (\frac{4}{5} {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80])$

Étape 1.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 5 (\frac{4}{5} {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80])$

Étape 1.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- 5 (\frac{4}{5} {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{4 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80])$

Étape 1.1.6.2

Soustrayez $5$ de $4$ .

$- 5 (\frac{4}{5} {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{- 1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80])$

Étape 1.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 5 (\frac{4}{5} {(x^{2} - 24 x + 80)}^{- \frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80])$

Étape 1.1.8

Associez $\frac{4}{5}$ et ${(x^{2} - 24 x + 80)}^{- \frac{1}{5}}$ .

$- 5 (\frac{4 {(x^{2} - 24 x + 80)}^{- \frac{1}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80])$

Étape 1.1.9

Placez ${(x^{2} - 24 x + 80)}^{- \frac{1}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 (\frac{4}{5 {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80])$

Étape 1.1.10

Associez $\frac{4}{5 {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$ et $- 5$ .

$\frac{4 \cdot - 5}{5 {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80]$

Étape 1.1.11

Multipliez $4$ par $- 5$ .

$\frac{- 20}{5 {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80]$

Étape 1.1.12

Factorisez $5$ à partir de $- 20$ .

$\frac{5 \cdot - 4}{5 {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80]$

Étape 1.1.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.13.1

Factorisez $5$ à partir de $5 {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{5 \cdot - 4}{5 ({(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}})} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80]$

Étape 1.1.13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cdot - 4}{5 {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80]$

Étape 1.1.13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80]$

Étape 1.1.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 80]$

Étape 1.1.15

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 24 x + 80$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [80]$ .

$- \frac{4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [80])$

Étape 1.1.16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [80])$

Étape 1.1.17

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24 x$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} (2 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [80])$

Étape 1.1.18

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} (2 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [80])$

Étape 1.1.19

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$- \frac{4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} (2 x - 24 + \frac{d}{d x} [80])$

Étape 1.1.20

Comme $80$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $80$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} (2 x - 24 + 0)$

Étape 1.1.21

Additionnez $2 x - 24$ et $0$ .

$- \frac{4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} (2 x - 24)$

Étape 1.1.22

Simplifiez

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Étape 1.1.22.1

Réorganisez les facteurs de $- \frac{4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} (2 x - 24)$ .

$- (2 x - 24) \frac{4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.1.22.2

Appliquez la propriété distributive.

$(- (2 x) - - 24) \frac{4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.1.22.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(- 2 x - - 24) \frac{4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.1.22.4

Multipliez $- 1$ par $- 24$ .

$(- 2 x + 24) \frac{4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.1.22.5

Multipliez $- 2 x + 24$ par $\frac{4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{(- 2 x + 24) \cdot 4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.1.22.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.22.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x + 24$ .

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Étape 1.1.22.6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{(2 (- x) + 24) \cdot 4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.1.22.6.1.2

Factorisez $2$ à partir de $24$ .

$\frac{(2 (- x) + 2 (12)) \cdot 4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.1.22.6.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x) + 2 (12)$ .

$\frac{2 (- x + 12) \cdot 4}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.1.22.6.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{8 (- x + 12)}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.1.22.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{8 (- (x) + 12)}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.1.22.8

Réécrivez $12$ comme $- 1 (- 12)$ .

$\frac{8 (- (x) - 1 (- 12))}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.1.22.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 12)$ .

$\frac{8 (- (x - 12))}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.1.22.10

Réécrivez $- (x - 12)$ comme $- 1 (x - 12)$ .

$\frac{8 (- 1 (x - 12))}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.1.22.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{8 (x - 12)}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{8 (x - 12)}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$ .

$- \frac{8 (x - 12)}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{8 (x - 12)}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{8 (x - 12)}{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$8 (x - 12) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $8 (x - 12) = 0$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1.1

Divisez chaque terme dans $8 (x - 12) = 0$ par $8$ .

$\frac{8 (x - 12)}{8} = \frac{0}{8}$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 2.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 (x - 12)}{8} = \frac{0}{8}$

Étape 2.3.1.2.1.2

Divisez $x - 12$ par $1$ .

$x - 12 = \frac{0}{8}$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1.3.1

Divisez $0$ par $8$ .

$x - 12 = 0$

Étape 2.3.2

Ajoutez $12$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 12$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$- \frac{8 (x - 12)}{\sqrt[5]{{(x^{2} - 24 x + 80)}^{1}}}$

Étape 3.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$- \frac{8 (x - 12)}{\sqrt[5]{x^{2} - 24 x + 80}}$

Étape 3.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{8 (x - 12)}{\sqrt[5]{x^{2} - 24 x + 80}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt[5]{x^{2} - 24 x + 80} = 0$

Étape 3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance $5$ .

${\sqrt[5]{x^{2} - 24 x + 80}}^{5} = 0^{5}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{x^{2} - 24 x + 80}$ comme ${(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}}$ .

${({(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.2.1

Simplifiez ${({(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Étape 3.3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Étape 3.3.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x^{2} - 24 x + 80)}^{1} = 0^{5}$

Étape 3.3.2.2.1.2

Simplifiez

$x^{2} - 24 x + 80 = 0^{5}$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x^{2} - 24 x + 80 = 0$

Étape 3.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.3.1

Factorisez $x^{2} - 24 x + 80$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.3.3.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $80$ et dont la somme est $- 24$ .

$- 20, - 4$

Étape 3.3.3.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 20) (x - 4) = 0$

Étape 3.3.3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 20 = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 3.3.3.3

Définissez $x - 20$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.3.3.1

Définissez $x - 20$ égal à $0$ .

$x - 20 = 0$

Étape 3.3.3.3.2

Ajoutez $20$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 20$

Étape 3.3.3.4

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.3.4.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 3.3.3.4.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 3.3.3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 20) (x - 4) = 0$ vraie.

$x = 20, 4$

Étape 3.4

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = 4, x = 20$

Étape 4

Évaluez $- 5 {(x^{2} - 24 x + 80)}^{\frac{4}{5}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 12$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $12$ .

$- 5 {({(12)}^{2} - 24 \cdot 12 + 80)}^{\frac{4}{5}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$- 5 {(144 - 24 \cdot 12 + 80)}^{\frac{4}{5}}$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $- 24$ par $12$ .

$- 5 {(144 - 288 + 80)}^{\frac{4}{5}}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.1.2.2.1

Soustrayez $288$ de $144$ .

$- 5 {(- 144 + 80)}^{\frac{4}{5}}$

Étape 4.1.2.2.2

Additionnez $- 144$ et $80$ .

$- 5 {(- 64)}^{\frac{4}{5}}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 4$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $4$ .

$- 5 {({(4)}^{2} - 24 \cdot 4 + 80)}^{\frac{4}{5}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$- 5 {(16 - 24 \cdot 4 + 80)}^{\frac{4}{5}}$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez $- 24$ par $4$ .

$- 5 {(16 - 96 + 80)}^{\frac{4}{5}}$

Étape 4.2.2.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.2.1

Soustrayez $96$ de $16$ .

$- 5 {(- 80 + 80)}^{\frac{4}{5}}$

Étape 4.2.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.2.2.2.1

Additionnez $- 80$ et $80$ .

$- 5 \cdot 0^{\frac{4}{5}}$

Étape 4.2.2.2.2.2

Réécrivez $0$ comme $0^{5}$ .

$- 5 \cdot {(0^{5})}^{\frac{4}{5}}$

Étape 4.2.2.2.2.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 5 \cdot 0^{5 (\frac{4}{5})}$

Étape 4.2.2.2.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.2.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$- 5 \cdot 0^{5 (\frac{4}{5})}$

Étape 4.2.2.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$- 5 \cdot 0^{4}$

Étape 4.2.2.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.2.2.4.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 5 \cdot 0$

Étape 4.2.2.2.4.2

Multipliez $- 5$ par $0$ .

$0$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = 20$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $20$ .

$- 5 {({(20)}^{2} - 24 \cdot 20 + 80)}^{\frac{4}{5}}$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Élevez $20$ à la puissance $2$ .

$- 5 {(400 - 24 \cdot 20 + 80)}^{\frac{4}{5}}$

Étape 4.3.2.1.2

Multipliez $- 24$ par $20$ .

$- 5 {(400 - 480 + 80)}^{\frac{4}{5}}$

Étape 4.3.2.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.2.1

Soustrayez $480$ de $400$ .

$- 5 {(- 80 + 80)}^{\frac{4}{5}}$

Étape 4.3.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.2.2.2.1

Additionnez $- 80$ et $80$ .

$- 5 \cdot 0^{\frac{4}{5}}$

Étape 4.3.2.2.2.2

Réécrivez $0$ comme $0^{5}$ .

$- 5 \cdot {(0^{5})}^{\frac{4}{5}}$

Étape 4.3.2.2.2.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 5 \cdot 0^{5 (\frac{4}{5})}$

Étape 4.3.2.2.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.3.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$- 5 \cdot 0^{5 (\frac{4}{5})}$

Étape 4.3.2.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$- 5 \cdot 0^{4}$

Étape 4.3.2.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.2.2.4.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 5 \cdot 0$

Étape 4.3.2.2.4.2

Multipliez $- 5$ par $0$ .

$0$

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(12, - 5 {(- 64)}^{\frac{4}{5}}), (4, 0), (20, 0)$

Étape 5