Calcul infinitésimal Exemples

$5 x - 4 \ln (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x - 4 \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 \ln (x)$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$5 - 4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 1.1.3.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$5 - 4 \frac{1}{x}$

Étape 1.1.3.3

Associez $- 4$ et $\frac{1}{x}$ .

$5 + \frac{- 4}{x}$

Étape 1.1.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$5 - \frac{4}{x}$

Étape 1.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - \frac{4}{x} + 5$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{4}{x} + 5$ .

$- \frac{4}{x} + 5$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{4}{x} + 5 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{4}{x} + 5 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{4}{x} = - 5$

Étape 2.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x, 1$

Étape 2.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x$

Étape 2.4

Multiplier chaque terme dans $- \frac{4}{x} = - 5$ par $x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.4.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{4}{x} = - 5$ par $x$ .

$- \frac{4}{x} x = - 5 x$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4}{x}$ dans le numérateur.

$\frac{- 4}{x} x = - 5 x$

Étape 2.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4}{x} x = - 5 x$

Étape 2.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 4 = - 5 x$

Étape 2.5

Résolvez l’équation.

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’équation comme $- 5 x = - 4$ .

$- 5 x = - 4$

Étape 2.5.2

Divisez chaque terme dans $- 5 x = - 4$ par $- 5$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- 5 x = - 4$ par $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 4}{- 5}$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 5$ .

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Étape 2.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 4}{- 5}$

Étape 2.5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 5}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{4}{5}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{4}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 4

Évaluez $5 x - 4 \ln (x)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{4}{5}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{4}{5}$ .

$5 (\frac{4}{5}) - 4 \ln (\frac{4}{5})$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$5 (\frac{4}{5}) - 4 \ln (\frac{4}{5})$

Étape 4.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$4 - 4 \ln (\frac{4}{5})$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez $- 4 \ln (\frac{4}{5})$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$4 - \ln ({(\frac{4}{5})}^{4})$

Étape 4.1.2.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{5}$ .

$4 - \ln (\frac{4^{4}}{5^{4}})$

Étape 4.1.2.4

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$4 - \ln (\frac{256}{5^{4}})$

Étape 4.1.2.5

Élevez $5$ à la puissance $4$ .

$4 - \ln (\frac{256}{625})$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$5 (0) - 4 \ln (0)$

Étape 4.2.2

Le logarithme naturel de zéro est indéfini.

Indéfini

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(\frac{4}{5}, 4 - \ln (\frac{256}{625}))$

Étape 5