Calcul infinitésimal Exemples

$2 \cos (4 x) + 4 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \cos (4 x) + 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \cos (4 x)] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (4 x)] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \cos (4 x)]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos (4 x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (4 x)] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 1.1.2.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 1.1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x$ .

$2 (- \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 1.1.2.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (- \sin (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (- \sin (4 x) (4 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 1.1.2.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$2 (- \sin (4 x) \cdot 4) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 1.1.2.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$2 (- 4 \sin (4 x)) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 1.1.2.7

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$- 8 \sin (4 x) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 \sin (4 x) + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 8 \sin (4 x) + 4 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$- 8 \sin (4 x) + 4$

Étape 1.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 4 - 8 \sin (4 x)$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 - 8 \sin (4 x)$ .

$4 - 8 \sin (4 x)$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 - 8 \sin (4 x) = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 - 8 \sin (4 x) = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- 8 \sin (4 x) = - 4$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $- 8 \sin (4 x) = - 4$ par $- 8$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 8 \sin (4 x) = - 4$ par $- 8$ .

$\frac{- 8 \sin (4 x)}{- 8} = \frac{- 4}{- 8}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 8$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 8 \sin (4 x)}{- 8} = \frac{- 4}{- 8}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $\sin (4 x)$ par $1$ .

$\sin (4 x) = \frac{- 4}{- 8}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $- 8$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4$ .

$\sin (4 x) = \frac{- 4 (1)}{- 8}$

Étape 2.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.1.2.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 8$ .

$\sin (4 x) = \frac{- 4 \cdot 1}{- 4 \cdot 2}$

Étape 2.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (4 x) = \frac{- 4 \cdot 1}{- 4 \cdot 2}$

Étape 2.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (4 x) = \frac{1}{2}$

Étape 2.4

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$4 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Étape 2.5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$4 x = \frac{π}{6}$

Étape 2.6

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{π}{6}$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.6.1

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{π}{6}$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

Étape 2.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

Étape 2.6.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

Étape 2.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.6.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 2.6.3.2

Multipliez $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 2.6.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{6}$ par $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 4}$

Étape 2.6.3.2.2

Multipliez $6$ par $4$ .

$x = \frac{π}{24}$

Étape 2.7

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$4 x = π - \frac{π}{6}$

Étape 2.8

Résolvez $x$ .

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Étape 2.8.1

Simplifiez

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Étape 2.8.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$4 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 2.8.1.2

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$4 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 2.8.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 2.8.1.4

Soustrayez $π$ de $π \cdot 6$ .

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Étape 2.8.1.4.1

Remettez dans l’ordre $π$ et $6$ .

$4 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 2.8.1.4.2

Soustrayez $π$ de $6 \cdot π$ .

$4 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Étape 2.8.2

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.8.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{4}$

Étape 2.8.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.8.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{4}$

Étape 2.8.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{4}$

Étape 2.8.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.8.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 2.8.2.3.2

Multipliez $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 2.8.2.3.2.1

Multipliez $\frac{5 π}{6}$ par $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 4}$

Étape 2.8.2.3.2.2

Multipliez $6$ par $4$ .

$x = \frac{5 π}{24}$

Étape 2.9

Déterminez la période de $\sin (4 x)$ .

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Étape 2.9.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.9.2

Remplacez $b$ par $4$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Étape 2.9.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $4$ est $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Étape 2.9.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 2.9.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Étape 2.9.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.9.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Étape 2.9.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Étape 2.9.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π}{2}$

Étape 2.10

La période de la fonction $\sin (4 x)$ est $\frac{π}{2}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{π}{2}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{24} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{24} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $2 \cos (4 x) + 4 x$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{π}{24}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{π}{24}$ .

$2 \cos (4 (\frac{π}{24})) + 4 (\frac{π}{24})$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.1.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$2 \cos (4 \frac{π}{4 (6)}) + 4 (\frac{π}{24})$

Étape 4.1.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cos (4 \frac{π}{4 \cdot 6}) + 4 (\frac{π}{24})$

Étape 4.1.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$2 \cos (\frac{π}{6}) + 4 (\frac{π}{24})$

Étape 4.1.2.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{π}{24})$

Étape 4.1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{π}{24})$

Étape 4.1.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{3} + 4 (\frac{π}{24})$

Étape 4.1.2.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.1.2.4.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$\sqrt{3} + 4 \frac{π}{4 (6)}$

Étape 4.1.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{3} + 4 \frac{π}{4 \cdot 6}$

Étape 4.1.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{3} + \frac{π}{6}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = \frac{13 π}{24}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{13 π}{24}$ .

$2 \cos (4 (\frac{13 π}{24})) + 4 (\frac{13 π}{24})$

Étape 4.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$2 \cos (4 \frac{13 π}{4 (6)}) + 4 (\frac{13 π}{24})$

Étape 4.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cos (4 \frac{13 π}{4 \cdot 6}) + 4 (\frac{13 π}{24})$

Étape 4.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$2 \cos (\frac{13 π}{6}) + 4 (\frac{13 π}{24})$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$2 \cos (\frac{π}{6}) + 4 (\frac{13 π}{24})$

Étape 4.2.2.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{13 π}{24})$

Étape 4.2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{13 π}{24})$

Étape 4.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{3} + 4 (\frac{13 π}{24})$

Étape 4.2.2.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.2.5.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$\sqrt{3} + 4 \frac{13 π}{4 (6)}$

Étape 4.2.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{3} + 4 \frac{13 π}{4 \cdot 6}$

Étape 4.2.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{3} + \frac{13 π}{6}$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = \frac{25 π}{24}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $\frac{25 π}{24}$ .

$2 \cos (4 (\frac{25 π}{24})) + 4 (\frac{25 π}{24})$

Étape 4.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$2 \cos (4 \frac{25 π}{4 (6)}) + 4 (\frac{25 π}{24})$

Étape 4.3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cos (4 \frac{25 π}{4 \cdot 6}) + 4 (\frac{25 π}{24})$

Étape 4.3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$2 \cos (\frac{25 π}{6}) + 4 (\frac{25 π}{24})$

Étape 4.3.2.2

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$2 \cos (\frac{π}{6}) + 4 (\frac{25 π}{24})$

Étape 4.3.2.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{25 π}{24})$

Étape 4.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{25 π}{24})$

Étape 4.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{3} + 4 (\frac{25 π}{24})$

Étape 4.3.2.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.3.2.5.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$\sqrt{3} + 4 \frac{25 π}{4 (6)}$

Étape 4.3.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{3} + 4 \frac{25 π}{4 \cdot 6}$

Étape 4.3.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{3} + \frac{25 π}{6}$

Étape 4.4

Évaluez sur $x = \frac{37 π}{24}$ .

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Étape 4.4.1

Remplacez $x$ par $\frac{37 π}{24}$ .

$2 \cos (4 (\frac{37 π}{24})) + 4 (\frac{37 π}{24})$

Étape 4.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.4.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$2 \cos (4 \frac{37 π}{4 (6)}) + 4 (\frac{37 π}{24})$

Étape 4.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cos (4 \frac{37 π}{4 \cdot 6}) + 4 (\frac{37 π}{24})$

Étape 4.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$2 \cos (\frac{37 π}{6}) + 4 (\frac{37 π}{24})$

Étape 4.4.2.2

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$2 \cos (\frac{π}{6}) + 4 (\frac{37 π}{24})$

Étape 4.4.2.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{37 π}{24})$

Étape 4.4.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{37 π}{24})$

Étape 4.4.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{3} + 4 (\frac{37 π}{24})$

Étape 4.4.2.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.4.2.5.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$\sqrt{3} + 4 \frac{37 π}{4 (6)}$

Étape 4.4.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{3} + 4 \frac{37 π}{4 \cdot 6}$

Étape 4.4.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{3} + \frac{37 π}{6}$

Étape 4.5

Évaluez sur $x = \frac{49 π}{24}$ .

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Étape 4.5.1

Remplacez $x$ par $\frac{49 π}{24}$ .

$2 \cos (4 (\frac{49 π}{24})) + 4 (\frac{49 π}{24})$

Étape 4.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$2 \cos (4 \frac{49 π}{4 (6)}) + 4 (\frac{49 π}{24})$

Étape 4.5.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cos (4 \frac{49 π}{4 \cdot 6}) + 4 (\frac{49 π}{24})$

Étape 4.5.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$2 \cos (\frac{49 π}{6}) + 4 (\frac{49 π}{24})$

Étape 4.5.2.2

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$2 \cos (\frac{π}{6}) + 4 (\frac{49 π}{24})$

Étape 4.5.2.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{49 π}{24})$

Étape 4.5.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{49 π}{24})$

Étape 4.5.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{3} + 4 (\frac{49 π}{24})$

Étape 4.5.2.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.5.2.5.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$\sqrt{3} + 4 \frac{49 π}{4 (6)}$

Étape 4.5.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{3} + 4 \frac{49 π}{4 \cdot 6}$

Étape 4.5.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{3} + \frac{49 π}{6}$

Étape 4.6

Évaluez sur $x = \frac{5 π}{24}$ .

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Étape 4.6.1

Remplacez $x$ par $\frac{5 π}{24}$ .

$2 \cos (4 (\frac{5 π}{24})) + 4 (\frac{5 π}{24})$

Étape 4.6.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$2 \cos (4 \frac{5 π}{4 (6)}) + 4 (\frac{5 π}{24})$

Étape 4.6.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cos (4 \frac{5 π}{4 \cdot 6}) + 4 (\frac{5 π}{24})$

Étape 4.6.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$2 \cos (\frac{5 π}{6}) + 4 (\frac{5 π}{24})$

Étape 4.6.2.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$2 (- \cos (\frac{π}{6})) + 4 (\frac{5 π}{24})$

Étape 4.6.2.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 4 (\frac{5 π}{24})$

Étape 4.6.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.2.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{5 π}{24})$

Étape 4.6.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{5 π}{24})$

Étape 4.6.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$- \sqrt{3} + 4 (\frac{5 π}{24})$

Étape 4.6.2.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.2.5.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$- \sqrt{3} + 4 \frac{5 π}{4 (6)}$

Étape 4.6.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$- \sqrt{3} + 4 \frac{5 π}{4 \cdot 6}$

Étape 4.6.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$- \sqrt{3} + \frac{5 π}{6}$

Étape 4.7

Évaluez sur $x = \frac{17 π}{24}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.1

Remplacez $x$ par $\frac{17 π}{24}$ .

$2 \cos (4 (\frac{17 π}{24})) + 4 (\frac{17 π}{24})$

Étape 4.7.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$2 \cos (4 \frac{17 π}{4 (6)}) + 4 (\frac{17 π}{24})$

Étape 4.7.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cos (4 \frac{17 π}{4 \cdot 6}) + 4 (\frac{17 π}{24})$

Étape 4.7.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$2 \cos (\frac{17 π}{6}) + 4 (\frac{17 π}{24})$

Étape 4.7.2.2

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$2 \cos (\frac{5 π}{6}) + 4 (\frac{17 π}{24})$

Étape 4.7.2.3

$2 (- \cos (\frac{π}{6})) + 4 (\frac{17 π}{24})$

Étape 4.7.2.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 4 (\frac{17 π}{24})$

Étape 4.7.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.2.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{17 π}{24})$

Étape 4.7.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{17 π}{24})$

Étape 4.7.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$- \sqrt{3} + 4 (\frac{17 π}{24})$

Étape 4.7.2.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.2.6.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$- \sqrt{3} + 4 \frac{17 π}{4 (6)}$

Étape 4.7.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$- \sqrt{3} + 4 \frac{17 π}{4 \cdot 6}$

Étape 4.7.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$- \sqrt{3} + \frac{17 π}{6}$

Étape 4.8

Évaluez sur $x = \frac{29 π}{24}$ .

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Étape 4.8.1

Remplacez $x$ par $\frac{29 π}{24}$ .

$2 \cos (4 (\frac{29 π}{24})) + 4 (\frac{29 π}{24})$

Étape 4.8.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$2 \cos (4 \frac{29 π}{4 (6)}) + 4 (\frac{29 π}{24})$

Étape 4.8.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cos (4 \frac{29 π}{4 \cdot 6}) + 4 (\frac{29 π}{24})$

Étape 4.8.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$2 \cos (\frac{29 π}{6}) + 4 (\frac{29 π}{24})$

Étape 4.8.2.2

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$2 \cos (\frac{5 π}{6}) + 4 (\frac{29 π}{24})$

Étape 4.8.2.3

$2 (- \cos (\frac{π}{6})) + 4 (\frac{29 π}{24})$

Étape 4.8.2.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 4 (\frac{29 π}{24})$

Étape 4.8.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.2.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{29 π}{24})$

Étape 4.8.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{29 π}{24})$

Étape 4.8.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$- \sqrt{3} + 4 (\frac{29 π}{24})$

Étape 4.8.2.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.8.2.6.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$- \sqrt{3} + 4 \frac{29 π}{4 (6)}$

Étape 4.8.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$- \sqrt{3} + 4 \frac{29 π}{4 \cdot 6}$

Étape 4.8.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$- \sqrt{3} + \frac{29 π}{6}$

Étape 4.9

Évaluez sur $x = \frac{41 π}{24}$ .

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Étape 4.9.1

Remplacez $x$ par $\frac{41 π}{24}$ .

$2 \cos (4 (\frac{41 π}{24})) + 4 (\frac{41 π}{24})$

Étape 4.9.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.9.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.9.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$2 \cos (4 \frac{41 π}{4 (6)}) + 4 (\frac{41 π}{24})$

Étape 4.9.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cos (4 \frac{41 π}{4 \cdot 6}) + 4 (\frac{41 π}{24})$

Étape 4.9.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$2 \cos (\frac{41 π}{6}) + 4 (\frac{41 π}{24})$

Étape 4.9.2.2

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$2 \cos (\frac{5 π}{6}) + 4 (\frac{41 π}{24})$

Étape 4.9.2.3

$2 (- \cos (\frac{π}{6})) + 4 (\frac{41 π}{24})$

Étape 4.9.2.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 4 (\frac{41 π}{24})$

Étape 4.9.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.9.2.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{41 π}{24})$

Étape 4.9.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{41 π}{24})$

Étape 4.9.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$- \sqrt{3} + 4 (\frac{41 π}{24})$

Étape 4.9.2.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.9.2.6.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$- \sqrt{3} + 4 \frac{41 π}{4 (6)}$

Étape 4.9.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$- \sqrt{3} + 4 \frac{41 π}{4 \cdot 6}$

Étape 4.9.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$- \sqrt{3} + \frac{41 π}{6}$

Étape 4.10

Évaluez sur $x = \frac{53 π}{24}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.10.1

Remplacez $x$ par $\frac{53 π}{24}$ .

$2 \cos (4 (\frac{53 π}{24})) + 4 (\frac{53 π}{24})$

Étape 4.10.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.10.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.10.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$2 \cos (4 \frac{53 π}{4 (6)}) + 4 (\frac{53 π}{24})$

Étape 4.10.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cos (4 \frac{53 π}{4 \cdot 6}) + 4 (\frac{53 π}{24})$

Étape 4.10.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$2 \cos (\frac{53 π}{6}) + 4 (\frac{53 π}{24})$

Étape 4.10.2.2

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$2 \cos (\frac{5 π}{6}) + 4 (\frac{53 π}{24})$

Étape 4.10.2.3

$2 (- \cos (\frac{π}{6})) + 4 (\frac{53 π}{24})$

Étape 4.10.2.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 4 (\frac{53 π}{24})$

Étape 4.10.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.10.2.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{53 π}{24})$

Étape 4.10.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{53 π}{24})$

Étape 4.10.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$- \sqrt{3} + 4 (\frac{53 π}{24})$

Étape 4.10.2.6

Annulez le facteur commun de $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.10.2.6.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$- \sqrt{3} + 4 \frac{53 π}{4 (6)}$

Étape 4.10.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$- \sqrt{3} + 4 \frac{53 π}{4 \cdot 6}$

Étape 4.10.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$- \sqrt{3} + \frac{53 π}{6}$

Étape 4.11

Indiquez tous les points.

$(\frac{π}{24}, \sqrt{3} + \frac{π}{6}), (\frac{13 π}{24}, \sqrt{3} + \frac{13 π}{6}), (\frac{25 π}{24}, \sqrt{3} + \frac{25 π}{6}), (\frac{37 π}{24}, \sqrt{3} + \frac{37 π}{6}), (\frac{49 π}{24}, \sqrt{3} + \frac{49 π}{6}), (\frac{5 π}{24}, - \sqrt{3} + \frac{5 π}{6}), (\frac{17 π}{24}, - \sqrt{3} + \frac{17 π}{6}), (\frac{29 π}{24}, - \sqrt{3} + \frac{29 π}{6}), (\frac{41 π}{24}, - \sqrt{3} + \frac{41 π}{6}), (\frac{53 π}{24}, - \sqrt{3} + \frac{53 π}{6})$

Étape 5