Calcul infinitésimal Exemples

$\sec (\sin^{-1} (u))$

Étape 1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, u)$ , $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, 0)$ , et l’origine. Alors $\sin^{-1} (u)$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(\sqrt{1^{2} - u^{2}}, u)$ . Ainsi, $\sec (\sin^{-1} (u))$ est $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = u$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Étape 3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ par $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Étape 4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ par $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Étape 4.2

Élevez $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Étape 4.3

Élevez $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1} {\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1}}$

Étape 4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1 + 1}}$

Étape 4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}}$

Étape 4.6

Réécrivez ${\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}$ comme $(1 + u) (1 - u)$ .

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Étape 4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ comme ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{1}}$

Étape 4.6.5

Simplifiez

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$

Étape 5

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 6

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 7

Remplacez les valeurs réelles de $a = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$ et $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})}^{2}}$

Étape 8

Déterminez $| z |$ .

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Étape 8.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)})}^{2}}$

Étape 8.2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 8.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}}{{((1 + u) (1 - u))}^{2}}}$

Étape 8.2.2

Appliquez la règle de produit à $(1 + u) (1 - u)$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Étape 8.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1

Réécrivez ${\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}$ comme $(1 + u) (1 - u)$ .

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Étape 8.3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ comme ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Étape 8.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Étape 8.3.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Étape 8.3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Étape 8.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Étape 8.3.1.5

Simplifiez

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Étape 8.3.2

Développez $(1 + u) (1 - u)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 8.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 (1 - u) + u (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Étape 8.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 \cdot 1 + 1 (- u) + u (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Étape 8.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 \cdot 1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Étape 8.3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 8.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 + 1 (- u) + u \cdot 1 + u (- u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Étape 8.3.3.1.2

Multipliez $- u$ par $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u \cdot 1 + u (- u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Étape 8.3.3.1.3

Multipliez $u$ par $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u + u (- u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Étape 8.3.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u - u \cdot u}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Étape 8.3.3.1.5

Multipliez $u$ par $u$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.3.3.1.5.1

Déplacez $u$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u - (u \cdot u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Étape 8.3.3.1.5.2

Multipliez $u$ par $u$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u + u - u^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Étape 8.3.3.2

Additionnez $- u$ et $u$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 + 0 - u^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Étape 8.3.3.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Étape 8.3.4

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1^{2} - u^{2}}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Étape 8.3.5

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = u$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{{(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}}}$

Étape 8.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.4.1

Factorisez $1 + u$ à partir de ${(1 + u)}^{2} {(1 - u)}^{2}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{(1 + u) ((1 + u) {(1 - u)}^{2})}}$

Étape 8.4.2

Annulez le facteur commun.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 + u) (1 - u)}{(1 + u) ((1 + u) {(1 - u)}^{2})}}$

Étape 8.4.3

Réécrivez l’expression.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1 - u}{(1 + u) {(1 - u)}^{2}}}$

Étape 8.5

Annulez le facteur commun à $1 - u$ et ${(1 - u)}^{2}$ .

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Étape 8.5.1

Multipliez par $1$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 - u) \cdot 1}{(1 + u) {(1 - u)}^{2}}}$

Étape 8.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.5.2.1

Factorisez $1 - u$ à partir de $(1 + u) {(1 - u)}^{2}$ .

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 - u) \cdot 1}{(1 - u) ((1 + u) (1 - u))}}$

Étape 8.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{(1 - u) \cdot 1}{(1 - u) ((1 + u) (1 - u))}}$

Étape 8.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$| z | = \sqrt{0 + \frac{1}{(1 + u) (1 - u)}}$

Étape 8.6

Additionnez $0$ et $\frac{1}{(1 + u) (1 - u)}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{(1 + u) (1 - u)}}$

Étape 8.7

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{(1 + u) (1 - u)}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Étape 8.8

Toute racine de $1$ est $1$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Étape 8.9

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ par $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ .

$| z | = \frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Étape 8.10

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.10.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ par $\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Étape 8.10.2

Élevez $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ à la puissance $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Étape 8.10.3

Élevez $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ à la puissance $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{(1 + u) (1 - u)}}$

Étape 8.10.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{1 + 1}}$

Étape 8.10.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}}$

Étape 8.10.6

Réécrivez ${\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}^{2}$ comme $(1 + u) (1 - u)$ .

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Étape 8.10.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ comme ${((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{({((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.10.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.10.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.10.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.10.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{{((1 + u) (1 - u))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.10.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$

Étape 8.10.6.5

Simplifiez

$| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$

Étape 9

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \tan^{-1} (\frac{0}{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}})$

Étape 10

Remplacez les valeurs de $θ = \tan^{-1} (\frac{0}{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}})$ et $| z | = \frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u) (\cos (\tan^{-1} (\frac{0}{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}})) + i \sin (\tan^{-1} (\frac{0}{\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)}}{(1 + u) (1 - u)}})))}$