Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- \infty}^{\infty} x e^{- x^{2}} d x$

Étape 1

Divisez l’intégrale sur $0$ et écrivez sous la forme d’une somme de limites.

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} x e^{- x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Étape 2

Laissez $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Alors $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{2}$ .

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Étape 2.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.1.3

Différenciez.

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Étape 2.1.4

Simplifiez

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Étape 2.1.4.1

Réorganisez les facteurs de $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Étape 2.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{- t^{2}}$

Étape 2.3

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{- 0^{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{upper} = e^{- 0}$

Étape 2.4.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$u_{upper} = e^{0}$

Étape 2.4.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$u_{upper} = 1$

Étape 2.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = e^{- t^{2}}$

$u_{upper} = 1$

Étape 2.6

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$lim_{t \to - \infty} \int_{e^{- t^{2}}}^{1} \frac{1}{- 2} d u_{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Étape 3

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{t \to - \infty} \int_{e^{- t^{2}}}^{1} - \frac{1}{2} d u_{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} u_{2}]_{e^{- t^{2}}}^{1} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Étape 5

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.1

Évaluez $- \frac{1}{2} u_{2}$ sur $1$ et sur $e^{- t^{2}}$ .

$lim_{t \to - \infty} (- \frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} e^{- t^{2}} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} e^{- t^{2}} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Étape 5.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{- t^{2}}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Étape 6

Laissez $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Alors $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 6.1

Laissez $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Étape 6.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{2}$ .

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Étape 6.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 6.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 6.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 6.1.3

Différenciez.

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Étape 6.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 6.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Étape 6.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Étape 6.1.4

Simplifiez

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Étape 6.1.4.1

Réorganisez les facteurs de $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Étape 6.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Étape 6.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{- 0^{2}}$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = e^{- 0}$

Étape 6.3.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Étape 6.3.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 6.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

Étape 6.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

Étape 6.6

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{e^{- t^{2}}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{e^{- t^{2}}} - \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{e^{- t^{2}}}$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1

Évaluez $- \frac{1}{2} u_{2}$ sur $e^{- t^{2}}$ et sur $1$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} (- \frac{1}{2} e^{- t^{2}}) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 9.2

Simplifiez

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Étape 9.2.1

Associez $e^{- t^{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 9.2.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 10

Évaluez les limites.

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Étape 10.1

Associez des fractions en utilisant un dénominateur commun.

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Étape 10.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{t \to - \infty} \frac{- 1 + e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 10.1.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{- 1 (1) + e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 10.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $e^{- t^{2}}$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{- 1 (1) - 1 (- e^{- t^{2}})}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 10.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- e^{- t^{2}})$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{- 1 (1 - e^{- t^{2}})}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 10.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 10.2

Associez des fractions en utilisant un dénominateur commun.

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Étape 10.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- e^{- t^{2}} + 1}{2}$

Étape 10.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- e^{- t^{2}}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{2}}) + 1}{2}$

Étape 10.2.3

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{2}}) - 1 (- 1)}{2}$

Étape 10.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (e^{- t^{2}}) - 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{2}} - 1)}{2}$

Étape 10.2.5

Réécrivez $- (e^{- t^{2}} - 1)$ comme $- 1 (e^{- t^{2}} - 1)$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (e^{- t^{2}} - 1)}{2}$

Étape 10.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Étape 10.3

Évaluez la limite.

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Étape 10.3.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $t$ .

$- lim_{t \to - \infty} \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Étape 10.3.2

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $t$ .

$- \frac{1}{2} lim_{t \to - \infty} 1 - e^{- t^{2}} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Étape 10.3.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $- \infty$ .

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to - \infty} 1 - lim_{t \to - \infty} e^{- t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Étape 10.3.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $t$ approche de $- \infty$ .

$- \frac{1}{2} (1 - lim_{t \to - \infty} e^{- t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Étape 10.4

Comme l’exposant $- t^{2}$ approche de $- \infty$ , la quantité $e^{- t^{2}}$ approche de $0$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 0) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Étape 10.5

Évaluez la limite.

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Étape 10.5.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $t$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - lim_{t \to \infty} \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Étape 10.5.2

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $t$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{- t^{2}} - 1$

Étape 10.5.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} e^{- t^{2}} - lim_{t \to \infty} 1)$

Étape 10.6

Comme l’exposant $- t^{2}$ approche de $- \infty$ , la quantité $e^{- t^{2}}$ approche de $0$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Étape 10.7

Évaluez la limite.

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Étape 10.7.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

Étape 10.7.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.7.2.1.1

Soustrayez $0$ de $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

Étape 10.7.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

Étape 10.7.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (0 - 1)$

Étape 10.7.2.1.4

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Étape 10.7.2.1.5

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 10.7.2.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Étape 10.7.2.1.5.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 10.7.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 + 1}{2}$

Étape 10.7.2.3

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{0}{2}$

Étape 10.7.2.4

Divisez $0$ par $2$ .

$0$