Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x + 5}{\sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}}} d x$

Étape 1

Laissez $u = x - 3$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x - 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{u + 3 + 5}{\sqrt{9 - u^{2}}} d u$

Étape 2

Additionnez $3$ et $5$ .

$\int \frac{u + 8}{\sqrt{9 - u^{2}}} d u$

Étape 3

Laissez $u = 3 \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d u = 3 \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ est positif.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Simplifiez $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

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Étape 4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Étape 4.1.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Étape 4.1.1.3

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Étape 4.1.2

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Étape 4.1.3

Factorisez $9$ à partir de $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Étape 4.1.4

Factorisez $9$ à partir de $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Étape 4.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 \cos^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Étape 4.1.6

Réécrivez $9 \cos^{2} (t)$ comme ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

Étape 4.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $3 \cos (t)$ .

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

Étape 4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\int 3 \sin (t) + 8 d t$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 3 \sin (t) d t + \int 8 d t$

Étape 6

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int \sin (t) d t + \int 8 d t$

Étape 7

L’intégrale de $\sin (t)$ par rapport à $t$ est $- \cos (t)$ .

$3 (- \cos (t) + C) + \int 8 d t$

Étape 8

Appliquez la règle de la constante.

$3 (- \cos (t) + C) + 8 t + C$

Étape 9

Simplifiez

$- 3 \cos (t) + 8 t + C$

Étape 10

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 10.1

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arcsin (\frac{u}{3})$ .

$- 3 \cos (\arcsin (\frac{u}{3})) + 8 \arcsin (\frac{u}{3}) + C$

Étape 10.2

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 3$ .

$- 3 \cos (\arcsin (\frac{x - 3}{3})) + 8 \arcsin (\frac{x - 3}{3}) + C$

Étape 11

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 3 \cos (\arcsin (\frac{1}{3} (x - 3))) + 8 \arcsin (\frac{1}{3} (x - 3)) + C$