Calcul infinitésimal Exemples

$\sin^{7} (x)$

Étape 1

Factorisez $\sin^{6} (x)$ .

$\int \sin^{6} (x) \sin (x) d x$

Étape 2

Simplifiez en factorisant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\int {\sin (x)}^{2 (3)} \sin (x) d x$

Étape 2.2

Réécrivez ${\sin (x)}^{2 (3)}$ comme une élévation à une puissance.

$\int {(\sin^{2} (x))}^{3} \sin (x) d x$

$\int {(\sin^{2} (x))}^{3} \sin (x) d x$

Étape 3

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\sin^{2} (x)$ comme $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\int {(1 - \cos^{2} (x))}^{3} \sin (x) d x$

Étape 4

Laissez $u = \cos (x)$ . Alors $d u = - \sin (x) d x$ , donc $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Laissez $u = \cos (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Différenciez $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 4.1.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

$- \sin (x)$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int - {(1 - u^{2})}^{3} d u$

$\int - {(1 - u^{2})}^{3} d u$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int {(1 - u^{2})}^{3} d u$

Étape 6

Développez ${(1 - u^{2})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Utilisez le théorème du binôme.

$- \int 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

Étape 6.2

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$- \int 1 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

Étape 6.3

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$- \int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

Étape 6.4

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$- \int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

Étape 6.5

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$- \int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) + {(- u^{2})}^{3} d u$

Étape 6.6

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$- \int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) - u^{2} {(- u^{2})}^{2} d u$

Étape 6.7

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$- \int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Étape 6.8

Déplacez $u^{2}$ .

$- \int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Étape 6.9

Déplacez les parenthèses.

$- \int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Étape 6.10

Déplacez les parenthèses.

$- \int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Étape 6.11

Déplacez $u^{2}$ .

$- \int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) d u$

Étape 6.12

Déplacez les parenthèses.

$- \int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} d u$

Étape 6.13

Déplacez les parenthèses.

$- \int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} d u$

Étape 6.14

Déplacez $u^{2}$ .

$- \int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Étape 6.15

Multipliez $1$ par $1$ .

$- \int 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Étape 6.16

Multipliez $1$ par $1$ .

$- \int 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Étape 6.17

Multipliez $3$ par $1$ .

$- \int 1 + 3 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Étape 6.18

Multipliez $3$ par $1$ .

$- \int 1 + 3 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Étape 6.19

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Étape 6.20

Multipliez $3$ par $1$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Étape 6.21

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} - 3 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Étape 6.22

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Étape 6.23

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{2 + 2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Étape 6.24

Additionnez $2$ et $2$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Étape 6.25

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Étape 6.26

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Étape 6.27

Factorisez le signe négatif.

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - (u^{2} u^{2}) u^{2} d u$

Étape 6.28

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{2 + 2} u^{2} d u$

Étape 6.29

Additionnez $2$ et $2$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{4} u^{2} d u$

Étape 6.30

Factorisez le signe négatif.

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - (u^{4} u^{2}) d u$

Étape 6.31

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{4 + 2} d u$

Étape 6.32

Additionnez $4$ et $2$ .

$- \int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{6} d u$

Étape 6.33

Remettez dans l’ordre $1$ et $- 3 u^{2}$ .

$- \int - 3 u^{2} + 1 + 3 u^{4} - u^{6} d u$

Étape 6.34

Déplacez $1$ .

$- \int - 3 u^{2} + 3 u^{4} + 1 - u^{6} d u$

Étape 6.35

Remettez dans l’ordre $- 3 u^{2}$ et $3 u^{4}$ .

$- \int 3 u^{4} - 3 u^{2} + 1 - u^{6} d u$

Étape 6.36

Déplacez $1$ .

$- \int 3 u^{4} - 3 u^{2} - u^{6} + 1 d u$

Étape 6.37

Déplacez $- 3 u^{2}$ .

$- \int 3 u^{4} - u^{6} - 3 u^{2} + 1 d u$

Étape 6.38

Remettez dans l’ordre $3 u^{4}$ et $- u^{6}$ .

$- \int - u^{6} + 3 u^{4} - 3 u^{2} + 1 d u$

$- \int - u^{6} + 3 u^{4} - 3 u^{2} + 1 d u$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- (\int - u^{6} d u + \int 3 u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u)$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- (- \int u^{6} d u + \int 3 u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u)$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{6}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$- (- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + \int 3 u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u)$

Étape 10

Comme $3$ est constant par rapport à $u$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$- (- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 \int u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u)$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{4}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int - 3 u^{2} d u + \int d u)$

Étape 12

Comme $- 3$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$- (- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 \int u^{2} d u + \int d u)$

Étape 13

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u)$

Étape 14

Appliquez la règle de la constante.

$- (- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C)$

Étape 15

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1.1

Associez $\frac{1}{7}$ et $u^{7}$ .

$- (- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C)$

Étape 15.1.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $u^{5}$ .

$- (- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{u^{5}}{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C)$

Étape 15.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $u^{3}$ .

$- (- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{u^{5}}{5} + C) - 3 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C)$

$- (- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{u^{5}}{5} + C) - 3 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C)$

Étape 15.2

Simplifiez

$- (- \frac{u^{7}}{7} + \frac{3 u^{5}}{5} - u^{3} + u) + C$

$- (- \frac{u^{7}}{7} + \frac{3 u^{5}}{5} - u^{3} + u) + C$

Étape 16

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$- (- \frac{\cos^{7} (x)}{7} + \frac{3 \cos^{5} (x)}{5} - \cos^{3} (x) + \cos (x)) + C$

Étape 17

Remettez les termes dans l’ordre.

$- (- \frac{1}{7} \cos^{7} (x) + \frac{3}{5} \cos^{5} (x) - \cos^{3} (x) + \cos (x)) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$