Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x \sqrt{x^{2} + 4}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 4}$ comme ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} + 4$ .

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Étape 1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 4$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 4$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.8

Associez les fractions.

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Étape 1.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.8.3

Placez ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.8.4

Associez $\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4] + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [4]) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.11

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.12

Associez les fractions.

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Étape 1.12.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.12.2

Associez $2$ et $\frac{x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} x + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.12.3

Associez $\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.13

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x)}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.14

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1})}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.16

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.16.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.16.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.16.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.17

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Étape 1.18

Multipliez ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.19

Pour écrire ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.20

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.21

Multipliez ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.21.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.21.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.21.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.21.4

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{2} + {(x^{2} + 4)}^{1}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.22

Simplifiez ${(x^{2} + 4)}^{1}$ .

$\frac{x^{2} + x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.23

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 2 x^{2} + 4$ et $g (x) = {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 4) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 4) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 4) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 4) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

Étape 2.3

Simplifiez

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 4) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

Étape 2.4.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

Étape 2.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} (4)) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

Étape 2.4.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (4 x + \frac{d}{d x} (4)) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

Étape 2.4.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (4 x + 0) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

Étape 2.4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.6.1

Additionnez $4 x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (4 x) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

Étape 2.4.6.2

Déplacez $4$ à gauche de ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 \cdot ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x) - (2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 4}$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} + 4$ .

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Étape 2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Étape 2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Étape 2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Étape 2.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Étape 2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Étape 2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Étape 2.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Étape 2.10

Associez les fractions.

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Étape 2.10.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Étape 2.10.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{{(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Étape 2.10.3

Placez ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Étape 2.11

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)))}{x^{2} + 4}$

Étape 2.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (4)))}{x^{2} + 4}$

Étape 2.13

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0))}{x^{2} + 4}$

Étape 2.14

Simplifiez les termes.

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Étape 2.14.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x))}{x^{2} + 4}$

Étape 2.14.2

Associez $2$ et $\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) (\frac{2}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{x^{2} + 4}$

Étape 2.14.3

Associez $\frac{2}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Étape 2.14.4

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Étape 2.14.5

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 4) \frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Étape 2.15

Simplifiez

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Étape 2.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + (- (2 x^{2}) - 1 \cdot 4) (\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} + 4}$

Étape 2.15.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.15.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} - 1 \cdot 4) (\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} + 4}$

Étape 2.15.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} - 4) (\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} + 4}$

Étape 2.15.2.2

Multipliez $- 2 x^{2} - 4$ par $\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} - 4) x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Étape 2.15.2.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2} - 4$ .

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Étape 2.15.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) - 4) x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Étape 2.15.2.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 2 (- 2)) x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Étape 2.15.2.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{2}) + 2 (- 2)$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{2} - 2) x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Étape 2.15.2.4

Pour écrire $4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- x^{2} - 2) x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Étape 2.15.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} - 2) x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Étape 2.15.2.6

Réécrivez $\frac{4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} - 2) x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ en forme factorisée.

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Étape 2.15.2.6.1

Factorisez $2 x$ à partir de $4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} - 2) x$ .

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Étape 2.15.2.6.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $4 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (- x^{2} - 2) x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Étape 2.15.2.6.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $2 (- x^{2} - 2) x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Étape 2.15.2.6.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} - 2)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Étape 2.15.2.6.2

Associez les exposants.

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Étape 2.15.2.6.2.1

Multipliez ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.15.2.6.2.1.1

Déplacez ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Étape 2.15.2.6.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Étape 2.15.2.6.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Étape 2.15.2.6.2.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Étape 2.15.2.6.2.1.5

Divisez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 (x^{2} + 4) - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Étape 2.15.2.6.2.2

Simplifiez $2 {(x^{2} + 4)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 (x^{2} + 4) - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Étape 2.15.2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.15.2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} + 2 \cdot 4 - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Étape 2.15.2.7.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} + 8 - x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Étape 2.15.2.7.3

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} + 8 - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Étape 2.15.2.7.4

Soustrayez $2$ de $8$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$

Étape 2.15.3

Associez des termes.

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Étape 2.15.3.1

Réécrivez $\frac{\frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 4}$ comme un produit.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 4}$

Étape 2.15.3.2

Multipliez $\frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{x^{2} + 4}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 4)}$

Étape 2.15.3.3

Multipliez ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ par $x^{2} + 4$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.15.3.3.1

Multipliez ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ par $x^{2} + 4$ .

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Étape 2.15.3.3.1.1

Élevez $x^{2} + 4$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 4)}$

Étape 2.15.3.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Étape 2.15.3.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Étape 2.15.3.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Étape 2.15.3.3.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{2 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 4

Comme il n’y a pas de valeur de $x$ qui rende la dérivée première égale à $0$ , il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 5

Aucun extremum local

Étape 6