Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} + \frac{400}{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + \frac{400}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{400}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{400}{x}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\frac{400}{x}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{400}{x}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $400$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{400}{x}$ par rapport à $x$ est $400 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 x + 400 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$2 x + 400 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$2 x + 400 (- x^{- 2})$

Étape 1.2.4

Multipliez $- 1$ par $400$ .

$2 x - 400 x^{- 2}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - 400 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.3.2

Associez des termes.

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Étape 1.3.2.1

Associez $- 400$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x + \frac{- 400}{x^{2}}$

Étape 1.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 x - \frac{400}{x^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - \frac{400}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{400}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{400}{x^{2}})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{400}{x^{2}})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{400}{x^{2}})$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{400}{x^{2}})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{400}{x^{2}}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 400$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{400}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 400 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 - 400 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}}$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 - 400 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 400 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = 2 - 400 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 400 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 - 400 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Étape 2.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 2.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 - 400 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 2 - 400 (- x^{- 4} (2 x))$

Étape 2.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 2 - 400 (- 2 x^{- 4} x)$

Étape 2.3.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 2 - 400 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

Étape 2.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 2 - 400 (- 2 x^{1 - 4})$

Étape 2.3.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f'' (x) = 2 - 400 (- 2 x^{- 3})$

Étape 2.3.10

Multipliez $- 2$ par $- 400$ .

$f'' (x) = 2 + 800 x^{- 3}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 + 800 (\frac{1}{x^{3}})$

Étape 2.4.2

Associez $800$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{800}{x^{3}}$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \frac{800}{x^{3}} + 2$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$2 x - \frac{400}{x^{2}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + \frac{400}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{400}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{400}{x}]$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\frac{400}{x}]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{400}{x}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $400$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{400}{x}$ par rapport à $x$ est $400 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 x + 400 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 4.1.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$2 x + 400 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 4.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$2 x + 400 (- x^{- 2})$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $400$ .

$2 x - 400 x^{- 2}$

Étape 4.1.3

Simplifiez

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Étape 4.1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - 400 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 4.1.3.2

Associez des termes.

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Étape 4.1.3.2.1

Associez $- 400$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x + \frac{- 400}{x^{2}}$

Étape 4.1.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 2 x - \frac{400}{x^{2}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x - \frac{400}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{400}{x^{2}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x - \frac{400}{x^{2}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 x - \frac{400}{x^{2}} = 0$

Étape 5.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x^{2}, 1$

Étape 5.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{2}$

Étape 5.3

Multiplier chaque terme dans $2 x - \frac{400}{x^{2}} = 0$ par $x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.3.1

Multipliez chaque terme dans $2 x - \frac{400}{x^{2}} = 0$ par $x^{2}$ .

$2 x \cdot x^{2} - \frac{400}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.2.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) - \frac{400}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 5.3.2.1.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 5.3.2.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) - \frac{400}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 5.3.2.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{2 + 1} - \frac{400}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 5.3.2.1.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 x^{3} - \frac{400}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 5.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 5.3.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{400}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$2 x^{3} + \frac{- 400}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 x^{3} + \frac{- 400}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 x^{3} - 400 = 0 x^{2}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Multipliez $0$ par $x^{2}$ .

$2 x^{3} - 400 = 0$

Étape 5.4

Résolvez l’équation.

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Étape 5.4.1

Ajoutez $400$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{3} = 400$

Étape 5.4.2

Soustrayez $400$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{3} - 400 = 0$

Étape 5.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} - 400$ .

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Étape 5.4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3}$ .

$2 (x^{3}) - 400 = 0$

Étape 5.4.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 400$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot - 200 = 0$

Étape 5.4.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} + 2 \cdot - 200$ .

$2 (x^{3} - 200) = 0$

Étape 5.4.4

Divisez chaque terme dans $2 (x^{3} - 200) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.4.4.1

Divisez chaque terme dans $2 (x^{3} - 200) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (x^{3} - 200)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 5.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x^{3} - 200)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 5.4.4.2.1.2

Divisez $x^{3} - 200$ par $1$ .

$x^{3} - 200 = \frac{0}{2}$

Étape 5.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.4.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x^{3} - 200 = 0$

Étape 5.4.5

Ajoutez $200$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{3} = 200$

Étape 5.4.6

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{200}$

Étape 5.4.7

Simplifiez $\sqrt[3]{200}$ .

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Étape 5.4.7.1

Réécrivez $200$ comme $2^{3} \cdot 25$ .

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Étape 5.4.7.1.1

Factorisez $8$ à partir de $200$ .

$x = \sqrt[3]{8 (25)}$

Étape 5.4.7.1.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{2^{3} \cdot 25}$

Étape 5.4.7.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = 2 \sqrt[3]{25}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{400}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x$ .

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Étape 6.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 6.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 6.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 6.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 2 \sqrt[3]{25}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 2 \sqrt[3]{25}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{800}{{(2 \sqrt[3]{25})}^{3}} + 2$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt[3]{25}$ .

$\frac{800}{2^{3} {\sqrt[3]{25}}^{3}} + 2$

Étape 9.1.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{800}{8 {\sqrt[3]{25}}^{3}} + 2$

Étape 9.1.1.3

Réécrivez ${\sqrt[3]{25}}^{3}$ comme $25$ .

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Étape 9.1.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{25}$ comme $25^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{800}{8 {(25^{\frac{1}{3}})}^{3}} + 2$

Étape 9.1.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{800}{8 \cdot 25^{\frac{1}{3} \cdot 3}} + 2$

Étape 9.1.1.3.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$\frac{800}{8 \cdot 25^{\frac{3}{3}}} + 2$

Étape 9.1.1.3.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.1.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{800}{8 \cdot 25^{\frac{3}{3}}} + 2$

Étape 9.1.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{800}{8 \cdot 25^{1}} + 2$

Étape 9.1.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{800}{8 \cdot 25} + 2$

Étape 9.1.2

Multipliez $8$ par $25$ .

$\frac{800}{200} + 2$

Étape 9.1.3

Divisez $800$ par $200$ .

$4 + 2$

Étape 9.2

Additionnez $4$ et $2$ .

$6$

Étape 10

$x = 2 \sqrt[3]{25}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 2 \sqrt[3]{25}$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 2 \sqrt[3]{25}$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $2 \sqrt[3]{25}$ dans l’expression.

$f (2 \sqrt[3]{25}) = {(2 \sqrt[3]{25})}^{2} + \frac{400}{2 \sqrt[3]{25}}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt[3]{25}$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 2^{2} {\sqrt[3]{25}}^{2} + \frac{400}{2 \sqrt[3]{25}}$

Étape 11.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 4 {\sqrt[3]{25}}^{2} + \frac{400}{2 \sqrt[3]{25}}$

Étape 11.2.1.3

Réécrivez ${\sqrt[3]{25}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{25^{2}}$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 4 \sqrt[3]{25^{2}} + \frac{400}{2 \sqrt[3]{25}}$

Étape 11.2.1.4

Élevez $25$ à la puissance $2$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 4 \sqrt[3]{625} + \frac{400}{2 \sqrt[3]{25}}$

Étape 11.2.1.5

Réécrivez $625$ comme $5^{3} \cdot 5$ .

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Étape 11.2.1.5.1

Factorisez $125$ à partir de $625$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 4 \sqrt[3]{125 (5)} + \frac{400}{2 \sqrt[3]{25}}$

Étape 11.2.1.5.2

Réécrivez $125$ comme $5^{3}$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 4 \sqrt[3]{5^{3} \cdot 5} + \frac{400}{2 \sqrt[3]{25}}$

Étape 11.2.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 4 (5 \sqrt[3]{5}) + \frac{400}{2 \sqrt[3]{25}}$

Étape 11.2.1.7

Multipliez $5$ par $4$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + \frac{400}{2 \sqrt[3]{25}}$

Étape 11.2.1.8

Annulez le facteur commun à $400$ et $2$ .

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Étape 11.2.1.8.1

Factorisez $2$ à partir de $400$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + \frac{2 \cdot 200}{2 \sqrt[3]{25}}$

Étape 11.2.1.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.1.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt[3]{25}$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + \frac{2 \cdot 200}{2 (\sqrt[3]{25})}$

Étape 11.2.1.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + \frac{2 \cdot 200}{2 \sqrt[3]{25}}$

Étape 11.2.1.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + \frac{200}{\sqrt[3]{25}}$

Étape 11.2.1.9

Multipliez $\frac{200}{\sqrt[3]{25}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{25}}^{2}}{{\sqrt[3]{25}}^{2}}$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + \frac{200}{\sqrt[3]{25}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{25}}^{2}}{{\sqrt[3]{25}}^{2}}$

Étape 11.2.1.10

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.2.1.10.1

Multipliez $\frac{200}{\sqrt[3]{25}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{25}}^{2}}{{\sqrt[3]{25}}^{2}}$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + \frac{200 {\sqrt[3]{25}}^{2}}{\sqrt[3]{25} {\sqrt[3]{25}}^{2}}$

Étape 11.2.1.10.2

Élevez $\sqrt[3]{25}$ à la puissance $1$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + \frac{200 {\sqrt[3]{25}}^{2}}{\sqrt[3]{25} {\sqrt[3]{25}}^{2}}$

Étape 11.2.1.10.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + \frac{200 {\sqrt[3]{25}}^{2}}{{\sqrt[3]{25}}^{1 + 2}}$

Étape 11.2.1.10.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + \frac{200 {\sqrt[3]{25}}^{2}}{{\sqrt[3]{25}}^{3}}$

Étape 11.2.1.10.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{25}}^{3}$ comme $25$ .

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Étape 11.2.1.10.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{25}$ comme $25^{\frac{1}{3}}$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + \frac{200 {\sqrt[3]{25}}^{2}}{{(25^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 11.2.1.10.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + \frac{200 {\sqrt[3]{25}}^{2}}{25^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 11.2.1.10.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + \frac{200 {\sqrt[3]{25}}^{2}}{25^{\frac{3}{3}}}$

Étape 11.2.1.10.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 11.2.1.10.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + \frac{200 {\sqrt[3]{25}}^{2}}{25^{\frac{3}{3}}}$

Étape 11.2.1.10.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + \frac{200 {\sqrt[3]{25}}^{2}}{25}$

Étape 11.2.1.10.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + \frac{200 {\sqrt[3]{25}}^{2}}{25}$

Étape 11.2.1.11

Annulez le facteur commun à $200$ et $25$ .

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Étape 11.2.1.11.1

Factorisez $25$ à partir de $200 {\sqrt[3]{25}}^{2}$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + \frac{25 (8 {\sqrt[3]{25}}^{2})}{25}$

Étape 11.2.1.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.1.11.2.1

Factorisez $25$ à partir de $25$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + \frac{25 (8 {\sqrt[3]{25}}^{2})}{25 (1)}$

Étape 11.2.1.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + \frac{25 (8 {\sqrt[3]{25}}^{2})}{25 \cdot 1}$

Étape 11.2.1.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + \frac{8 {\sqrt[3]{25}}^{2}}{1}$

Étape 11.2.1.11.2.4

Divisez $8 {\sqrt[3]{25}}^{2}$ par $1$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + 8 {\sqrt[3]{25}}^{2}$

Étape 11.2.1.12

Réécrivez ${\sqrt[3]{25}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{25^{2}}$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + 8 \sqrt[3]{25^{2}}$

Étape 11.2.1.13

Élevez $25$ à la puissance $2$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + 8 \sqrt[3]{625}$

Étape 11.2.1.14

Réécrivez $625$ comme $5^{3} \cdot 5$ .

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Étape 11.2.1.14.1

Factorisez $125$ à partir de $625$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + 8 \sqrt[3]{125 (5)}$

Étape 11.2.1.14.2

Réécrivez $125$ comme $5^{3}$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + 8 \sqrt[3]{5^{3} \cdot 5}$

Étape 11.2.1.15

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + 8 (5 \sqrt[3]{5})$

Étape 11.2.1.16

Multipliez $5$ par $8$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 20 \sqrt[3]{5} + 40 \sqrt[3]{5}$

Étape 11.2.2

Additionnez $20 \sqrt[3]{5}$ et $40 \sqrt[3]{5}$ .

$f (2 \sqrt[3]{25}) = 60 \sqrt[3]{5}$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $60 \sqrt[3]{5}$ .

$y = 60 \sqrt[3]{5}$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{2} + \frac{400}{x}$ .

$(2 \sqrt[3]{25}, 60 \sqrt[3]{5})$ est un minimum local

Étape 13