Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{- 2}{x^{2} - x - 6}$

Étape 1

Écrivez $\frac{- 2}{x^{2} - x - 6}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{- 2}{x^{2} - x - 6}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2} - x - 6}]$

Étape 2.1.1.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2}{x^{2} - x - 6}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - x - 6}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - x - 6}]$

Étape 2.1.1.3

Réécrivez $\frac{1}{x^{2} - x - 6}$ comme ${(x^{2} - x - 6)}^{- 1}$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - x - 6)}^{- 1}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2} - x - 6$ .

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Étape 2.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - x - 6$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6])$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6])$

Étape 2.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - x - 6$ .

$- 2 (- {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6])$

Étape 2.1.3

Différenciez.

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Étape 2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$2 ({(x^{2} - x - 6)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6])$

Étape 2.1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 2.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 2.1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 2.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 2.1.3.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 2.1.3.7

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} (2 x - 1 + 0)$

Étape 2.1.3.8

Additionnez $2 x - 1$ et $0$ .

$2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} (2 x - 1)$

Étape 2.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (2 x - 1)$

Étape 2.1.5

Simplifiez

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Étape 2.1.5.1

Associez $2$ et $\frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (2 x - 1)$

Étape 2.1.5.2

Réorganisez les facteurs de $\frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (2 x - 1)$ .

$f' (x) = (2 x - 1) \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 2 x - 1$ et $g (x) = \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ .

$(2 x - 1) \frac{d}{d x} [\frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}] + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}]$ .

$(2 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}]) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.2.2.1

Déplacez $2$ à gauche de $2 x - 1$ .

$2 \cdot (2 x - 1) \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}] + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.2.2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ comme ${({(x^{2} - x - 6)}^{2})}^{- 1}$ .

$2 (2 x - 1) \frac{d}{d x} [{({(x^{2} - x - 6)}^{2})}^{- 1}] + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.2.2.2.3

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - x - 6)}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.2.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - x - 6)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.2.2.2.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 (2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - x - 6)}^{- 2}] + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 2}$ et $g (x) = x^{2} - x - 6$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - x - 6$ .

$2 (2 x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6]) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$2 (2 x - 1) (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6]) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - x - 6$ .

$2 (2 x - 1) (- 2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6]) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.2.4

Différenciez.

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Étape 2.2.4.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6]) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.2.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.2.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.2.4.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.2.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.2.4.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.2.4.7

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} (2 x - 1 + 0)) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.2.4.8

Additionnez $2 x - 1$ et $0$ .

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} (2 x - 1)) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.2.5

Élevez $2 x - 1$ à la puissance $1$ .

$- 4 ({(2 x - 1)}^{1} (2 x - 1)) {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.2.6

Élevez $2 x - 1$ à la puissance $1$ .

$- 4 ({(2 x - 1)}^{1} {(2 x - 1)}^{1}) {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 4 {(2 x - 1)}^{1 + 1} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Étape 2.2.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 2.2.10

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 2.2.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 2.2.12

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 2.2.13

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (2 + 0)$

Étape 2.2.14

Associez les fractions.

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Étape 2.2.14.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \cdot 2$

Étape 2.2.14.2

Associez $\frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ et $2$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2 \cdot 2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.14.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.15

Pour écrire $- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} \cdot \frac{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} + \frac{4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.16

Associez $- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3}$ et $\frac{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} {(x^{2} - x - 6)}^{2}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} + \frac{4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} {(x^{2} - x - 6)}^{2} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.18

Multipliez ${(x^{2} - x - 6)}^{- 3}$ par ${(x^{2} - x - 6)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.18.1

Déplacez ${(x^{2} - x - 6)}^{2}$ .

$\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2} ({(x^{2} - x - 6)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3}) + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.18.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{2 - 3} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.18.3

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 1} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19

Simplifiez

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Étape 2.2.19.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2} \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.19.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.19.2.1.1

Réécrivez ${(2 x - 1)}^{2}$ comme $(2 x - 1) (2 x - 1)$ .

$\frac{- 4 ((2 x - 1) (2 x - 1)) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.1.2

Développez $(2 x - 1) (2 x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.19.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 4 (2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 4 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 4 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.19.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.19.2.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- 4 (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.19.2.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{- 4 (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{- 4 (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{- 4 (4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.1.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 4 (4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.1.3.1.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 4 (4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.1.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 4 (4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.1.3.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{- 4 (4 x^{2} - 4 x + 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(- 4 (4 x^{2}) - 4 (- 4 x) - 4 \cdot 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.1.5

Simplifiez

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Étape 2.2.19.2.1.5.1

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$\frac{(- 16 x^{2} - 4 (- 4 x) - 4 \cdot 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.1.5.2

Multipliez $- 4$ par $- 4$ .

$\frac{(- 16 x^{2} + 16 x - 4 \cdot 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.1.5.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$\frac{(- 16 x^{2} + 16 x - 4) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.1.6

Factorisez $x^{2} - x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.19.2.1.6.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 3, 2$

Étape 2.2.19.2.1.6.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(- 16 x^{2} + 16 x - 4) \frac{1}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.1.7

Multipliez $- 16 x^{2} + 16 x - 4$ par $\frac{1}{(x - 3) (x + 2)}$ .

$\frac{\frac{- 16 x^{2} + 16 x - 4}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.1.8

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.19.2.1.8.1

Factorisez $4$ à partir de $- 16 x^{2} + 16 x - 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.19.2.1.8.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 16 x^{2}$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2}) + 16 x - 4}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.1.8.1.2

Factorisez $4$ à partir de $16 x$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) - 4}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.1.8.1.3

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.1.8.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x)$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.1.8.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 1)$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.1.8.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.19.2.1.8.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 4 \cdot - 1 = 4$ et dont la somme est $b = 4$ .

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Étape 2.2.19.2.1.8.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 (x) - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.1.8.2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2$ plus $2$

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + (2 + 2) x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.1.8.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 2 x + 2 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.1.8.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.19.2.1.8.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{\frac{4 ((- 4 x^{2} + 2 x) + 2 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.1.8.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{\frac{4 (2 x (- 2 x + 1) - (- 2 x + 1))}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.1.8.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 2 x + 1$ .

$\frac{\frac{4 ((- 2 x + 1) (2 x - 1))}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

$\frac{\frac{4 (- 2 x + 1) (2 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.1.8.3

Associez les exposants.

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Étape 2.2.19.2.1.8.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{\frac{4 (- (2 x) + 1) (2 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.1.8.3.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{\frac{4 (- (2 x) - 1 (- 1)) (2 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.1.8.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{\frac{4 (- (2 x - 1)) (2 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.1.8.3.4

Réécrivez $- (2 x - 1)$ comme $- 1 (2 x - 1)$ .

$\frac{\frac{4 (- 1 (2 x - 1)) (2 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.1.8.3.5

Élevez $2 x - 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{4 \cdot - 1 ({(2 x - 1)}^{1} (2 x - 1))}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.1.8.3.6

Élevez $2 x - 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{4 \cdot - 1 ({(2 x - 1)}^{1} {(2 x - 1)}^{1})}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.1.8.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{4 \cdot - 1 {(2 x - 1)}^{1 + 1}}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.1.8.3.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{4 \cdot - 1 {(2 x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.1.8.3.9

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- \frac{4 {(2 x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.2

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(x - 3) (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)}$ .

$\frac{- \frac{4 {(2 x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 2)} + 4 \cdot \frac{(x - 3) (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.3

Associez $4$ et $\frac{(x - 3) (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)}$ .

$\frac{- \frac{4 {(2 x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 2)} + \frac{4 ((x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2} + 4 ((x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.19.2.5.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 {(2 x - 1)}^{2} + 4 (x - 3) (x + 2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.19.2.5.1.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 {(2 x - 1)}^{2}$ .

$\frac{\frac{4 (- {(2 x - 1)}^{2}) + 4 (x - 3) (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.5.1.2

Factorisez $4$ à partir de $4 (x - 3) (x + 2)$ .

$\frac{\frac{4 (- {(2 x - 1)}^{2}) + 4 ((x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.5.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- {(2 x - 1)}^{2}) + 4 ((x - 3) (x + 2))$ .

$\frac{\frac{4 (- {(2 x - 1)}^{2} + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.5.2

Réécrivez ${(2 x - 1)}^{2}$ comme $(2 x - 1) (2 x - 1)$ .

$\frac{\frac{4 (- ((2 x - 1) (2 x - 1)) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.5.3

Développez $(2 x - 1) (2 x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.19.2.5.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{4 (- (2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.5.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{4 (- (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.5.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{4 (- (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.5.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.19.2.5.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.19.2.5.4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{4 (- (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.5.4.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.19.2.5.4.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{\frac{4 (- (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.5.4.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\frac{4 (- (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.5.4.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{4 (- (4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.5.4.1.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{\frac{4 (- (4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.5.4.1.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{4 (- (4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.5.4.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{4 (- (4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.5.4.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{\frac{4 (- (4 x^{2} - 4 x + 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.5.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{4 (- (4 x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot 1 + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.5.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.19.2.5.6.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} - (- 4 x) - 1 \cdot 1 + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.5.6.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 \cdot 1 + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.5.6.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.5.7

Développez $(x - 3) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.19.2.5.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + x (x + 2) - 3 (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.5.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + x \cdot x + x \cdot 2 - 3 (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.5.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + x \cdot x + x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.5.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.19.2.5.8.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.19.2.5.8.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + x^{2} + x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.5.8.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + x^{2} + 2 \cdot x - 3 x - 3 \cdot 2)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.5.8.1.3

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + x^{2} + 2 x - 3 x - 6)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.5.8.2

Soustrayez $3 x$ de $2 x$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + x^{2} - x - 6)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.5.9

Additionnez $- 4 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{\frac{4 (- 3 x^{2} + 4 x - 1 - x - 6)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.5.10

Soustrayez $x$ de $4 x$ .

$\frac{\frac{4 (- 3 x^{2} + 3 x - 1 - 6)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.5.11

Soustrayez $6$ de $- 1$ .

$\frac{\frac{4 (- 3 x^{2} + 3 x - 7)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{\frac{4 (- (3 x^{2}) + 3 x - 7)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $3 x$ .

$\frac{\frac{4 (- (3 x^{2}) - (- 3 x) - 7)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2}) - (- 3 x)$ .

$\frac{\frac{4 (- (3 x^{2} - 3 x) - 7)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.9

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$\frac{\frac{4 (- (3 x^{2} - 3 x) - 1 (7))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2} - 3 x) - 1 (7)$ .

$\frac{\frac{4 (- (3 x^{2} - 3 x + 7))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.11

Réécrivez $- (3 x^{2} - 3 x + 7)$ comme $- 1 (3 x^{2} - 3 x + 7)$ .

$\frac{\frac{4 (- 1 (3 x^{2} - 3 x + 7))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.2.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.3

Associez des termes.

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Étape 2.2.19.3.1

Réécrivez $\frac{- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ comme un produit.

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{(x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Étape 2.2.19.3.2

Multipliez $\frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ par $\frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{(x - 3) (x + 2)}$ .

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x^{2} - x - 6)}^{2} (x - 3) (x + 2)}$

Étape 2.2.19.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.19.4.1

Factorisez $x^{2} - x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.19.4.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 3, 2$

Étape 2.2.19.4.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{((x - 3) (x + 2))}^{2} (x - 3) (x + 2)}$

Étape 2.2.19.4.2

Appliquez la règle de produit à $(x - 3) (x + 2)$ .

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{2} {(x + 2)}^{2} (x - 3) (x + 2)}$

Étape 2.2.19.4.3

Associez les exposants.

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Étape 2.2.19.4.3.1

Élevez $x - 3$ à la puissance $1$ .

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{1} {(x - 3)}^{2} {(x + 2)}^{2} (x + 2)}$

Étape 2.2.19.4.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{1 + 2} {(x + 2)}^{2} (x + 2)}$

Étape 2.2.19.4.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 2)}^{2} (x + 2)}$

Étape 2.2.19.4.3.4

Élevez $x + 2$ à la puissance $1$ .

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} ({(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{2})}$

Étape 2.2.19.4.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 2)}^{1 + 2}}$

Étape 2.2.19.4.3.6

Additionnez $1$ et $2$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 2)}^{3}}$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 2)}^{3}}$ .

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 2)}^{3}}$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 2)}^{3}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 2)}^{3}} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 (3 x^{2} - 3 x + 7) = 0$

Étape 3.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $4 (3 x^{2} - 3 x + 7) = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1.1

Divisez chaque terme dans $4 (3 x^{2} - 3 x + 7) = 0$ par $4$ .

$\frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 3.3.1.2.1.2

Divisez $3 x^{2} - 3 x + 7$ par $1$ .

$3 x^{2} - 3 x + 7 = \frac{0}{4}$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$3 x^{2} - 3 x + 7 = 0$

Étape 3.3.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.3.3

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = - 3$ et $c = 7$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 7)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.4

Simplifiez

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Étape 3.3.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.4.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 7$ .

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Étape 3.3.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.4.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $7$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 84}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.4.1.3

Soustrayez $84$ de $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.4.1.4

Réécrivez $- 75$ comme $- 1 (75)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (75)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.4.1.7

Réécrivez $75$ comme $5^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.3.4.1.7.1

Factorisez $25$ à partir de $75$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.4.1.7.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{3 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.4.1.9

Déplacez $5$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{3 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{3 \pm 5 i \sqrt{3}}{6}$

Étape 3.3.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 3.3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.5.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 7$ .

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Étape 3.3.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.5.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $7$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 84}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.5.1.3

Soustrayez $84$ de $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.5.1.4

Réécrivez $- 75$ comme $- 1 (75)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (75)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.5.1.7

Réécrivez $75$ comme $5^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.3.5.1.7.1

Factorisez $25$ à partir de $75$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.5.1.7.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{3 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.5.1.9

Déplacez $5$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{3 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{3 \pm 5 i \sqrt{3}}{6}$

Étape 3.3.5.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{3 + 5 i \sqrt{3}}{6}$

Étape 3.3.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.6.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 7$ .

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Étape 3.3.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.6.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $7$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 84}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.6.1.3

Soustrayez $84$ de $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.6.1.4

Réécrivez $- 75$ comme $- 1 (75)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (75)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.6.1.7

Réécrivez $75$ comme $5^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.6.1.7.1

Factorisez $25$ à partir de $75$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.6.1.7.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{3 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.6.1.9

Déplacez $5$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{3 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{3 \pm 5 i \sqrt{3}}{6}$

Étape 3.3.6.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{3 - 5 i \sqrt{3}}{6}$

Étape 3.3.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{3 + 5 i \sqrt{3}}{6}, \frac{3 - 5 i \sqrt{3}}{6}$

Étape 4

Aucune valeur trouvée qui peut rendre la dérivée seconde égale à $0$ .

Aucun point d’inflexion