Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x + 4}{x^{2} - 5 x - 36}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x + 4}{x^{2} - 5 x - 36}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x + 4}{x^{2} - 5 x - 36}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x + 4$ et $g (x) = x^{2} - 5 x - 36$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x - 36) \frac{d}{d x} [x + 4] - (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 36]}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x - 36) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) - (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 36]}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x - 36) (1 + \frac{d}{d x} [4]) - (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 36]}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Étape 2.1.2.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x - 36) (1 + 0) - (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 36]}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x^{2} - 5 x - 36) \cdot 1 - (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 36]}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Étape 2.1.2.4.2

Multipliez $x^{2} - 5 x - 36$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x - 36]}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Étape 2.1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 5 x - 36$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Étape 2.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Étape 2.1.2.7

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) (2 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Étape 2.1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) (2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Étape 2.1.2.9

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) (2 x - 5 + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Étape 2.1.2.10

Comme $- 36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 36$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) (2 x - 5 + 0)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Étape 2.1.2.11

Additionnez $2 x - 5$ et $0$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - (x + 4) (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Étape 2.1.3

Simplifiez

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Étape 2.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 + (- x - 1 \cdot 4) (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Étape 2.1.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 + (- x - 4) (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Étape 2.1.3.2.1.2

Développez $(- x - 4) (2 x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.3.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - x (2 x - 5) - 4 (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Étape 2.1.3.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - x (2 x) - x \cdot - 5 - 4 (2 x - 5)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Étape 2.1.3.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - x (2 x) - x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Étape 2.1.3.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.3.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.2.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Étape 2.1.3.2.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.3.2.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Étape 2.1.3.2.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Étape 2.1.3.2.1.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 2 x^{2} - x \cdot - 5 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Étape 2.1.3.2.1.3.1.4

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 2 x^{2} + 5 x - 4 (2 x) - 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Étape 2.1.3.2.1.3.1.5

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 2 x^{2} + 5 x - 8 x - 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Étape 2.1.3.2.1.3.1.6

Multipliez $- 4$ par $- 5$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 2 x^{2} + 5 x - 8 x + 20}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Étape 2.1.3.2.1.3.2

Soustrayez $8 x$ de $5 x$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 36 - 2 x^{2} - 3 x + 20}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Étape 2.1.3.2.2

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 5 x - 36 - 3 x + 20}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Étape 2.1.3.2.3

Soustrayez $3 x$ de $- 5 x$ .

$\frac{- x^{2} - 8 x - 36 + 20}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Étape 2.1.3.2.4

Additionnez $- 36$ et $20$ .

$\frac{- x^{2} - 8 x - 16}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Étape 2.1.3.3

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.3.3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 16 = 16$ et dont la somme est $b = - 8$ .

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Étape 2.1.3.3.1.1

Factorisez $- 8$ à partir de $- 8 x$ .

$\frac{- x^{2} - 8 (x) - 16}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.2

Réécrivez $- 8$ comme $- 4$ plus $- 4$

$\frac{- x^{2} + (- 4 - 4) x - 16}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x^{2} - 4 x - 4 x - 16}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.3.3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(- x^{2} - 4 x) - 4 x - 16}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (- x - 4) + 4 (- x - 4)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x - 4$ .

$\frac{(- x - 4) (x + 4)}{{(x^{2} - 5 x - 36)}^{2}}$

Étape 2.1.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1.3.4.1

Factorisez $x^{2} - 5 x - 36$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.3.4.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 36$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 9, 4$

Étape 2.1.3.4.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(- x - 4) (x + 4)}{{((x - 9) (x + 4))}^{2}}$

Étape 2.1.3.4.2

Appliquez la règle de produit à $(x - 9) (x + 4)$ .

$\frac{(- x - 4) (x + 4)}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Étape 2.1.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.3.5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{(- (x) - 4) (x + 4)}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Étape 2.1.3.5.2

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (4)) (x + 4)}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Étape 2.1.3.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (4)$ .

$\frac{- (x + 4) (x + 4)}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Étape 2.1.3.5.4

Réécrivez $- (x + 4)$ comme $- 1 (x + 4)$ .

$\frac{- 1 (x + 4) (x + 4)}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Étape 2.1.3.5.5

Élevez $x + 4$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 4)}^{1} (x + 4))}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Étape 2.1.3.5.6

Élevez $x + 4$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 4)}^{1} {(x + 4)}^{1})}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Étape 2.1.3.5.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 1 {(x + 4)}^{1 + 1}}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Étape 2.1.3.5.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 1 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Étape 2.1.3.6

Annulez le facteur commun de ${(x + 4)}^{2}$ .

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Étape 2.1.3.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 9)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Étape 2.1.3.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{{(x - 9)}^{2}}$

Étape 2.1.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 9)}^{2}}] + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ comme ${({(x - 9)}^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{({(x - 9)}^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(x - 9)}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{- 2}] + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 2}$ et $g (x) = x - 9$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 9$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x - 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$- (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 9$ .

$- (- 2 {(x - 9)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.4

Différenciez.

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Étape 2.2.4.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2 ({(x - 9)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.4.4

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.4.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.4.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.4.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.4.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 9)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.2.4.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.4.7.1

Multipliez $\frac{1}{{(x - 9)}^{2}}$ par $0$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3} + 0$

Étape 2.2.4.7.2

Additionnez $2 {(x - 9)}^{- 3}$ et $0$ .

$2 {(x - 9)}^{- 3}$

Étape 2.2.5

Simplifiez

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Étape 2.2.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(x - 9)}^{3}}$

Étape 2.2.5.2

Associez $2$ et $\frac{1}{{(x - 9)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x - 9)}^{3}}$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{{(x - 9)}^{3}}$ .

$\frac{2}{{(x - 9)}^{3}}$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2}{{(x - 9)}^{3}} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{2}{{(x - 9)}^{3}} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 = 0$

Étape 3.3

Comme $2 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 4

Aucune valeur trouvée qui peut rendre la dérivée seconde égale à $0$ .

Aucun point d’inflexion