Calcul infinitésimal Exemples

$12 x^{2} - 12 \sin (2 x)$

Étape 1

Écrivez $12 x^{2} - 12 \sin (2 x)$ comme une fonction.

$f (x) = 12 x^{2} - 12 \sin (2 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 x^{2} - 12 \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)]$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Étape 2.1.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x^{2}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)]$

Étape 2.1.2.3

Multipliez $2$ par $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$24 x - 12 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$24 x - 12 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.1.3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$24 x - 12 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$24 x - 12 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.1.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x - 12 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$24 x - 12 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Étape 2.1.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$24 x - 12 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Étape 2.1.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$24 x - 12 (2 \cdot \cos (2 x))$

Étape 2.1.3.7

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$f' (x) = 24 x - 24 \cos (2 x)$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $24 x - 24 \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

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Étape 2.2.2.1

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24 x$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$

Étape 2.2.2.3

Multipliez $24$ par $1$ .

$24 + \frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$

Étape 2.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$ .

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Étape 2.2.3.1

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24 \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$24 - 24 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$24 - 24 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.2.3.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$24 - 24 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$24 - 24 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.2.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 - 24 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$24 - 24 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Étape 2.2.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$24 - 24 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Étape 2.2.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$24 - 24 (- 2 \sin (2 x))$

Étape 2.2.3.7

Multipliez $- 2$ par $- 24$ .

$f'' (x) = 24 + 48 \sin (2 x)$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $24 + 48 \sin (2 x)$ .

$24 + 48 \sin (2 x)$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $24 + 48 \sin (2 x) = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$24 + 48 \sin (2 x) = 0$

Étape 3.2

Soustrayez $24$ des deux côtés de l’équation.

$48 \sin (2 x) = - 24$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $48 \sin (2 x) = - 24$ par $48$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $48 \sin (2 x) = - 24$ par $48$ .

$\frac{48 \sin (2 x)}{48} = \frac{- 24}{48}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $48$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{48 \sin (2 x)}{48} = \frac{- 24}{48}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $\sin (2 x)$ par $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 24}{48}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Annulez le facteur commun à $- 24$ et $48$ .

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Étape 3.3.3.1.1

Factorisez $24$ à partir de $- 24$ .

$\sin (2 x) = \frac{24 (- 1)}{48}$

Étape 3.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.3.1.2.1

Factorisez $24$ à partir de $48$ .

$\sin (2 x) = \frac{24 \cdot - 1}{24 \cdot 2}$

Étape 3.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (2 x) = \frac{24 \cdot - 1}{24 \cdot 2}$

Étape 3.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (2 x) = \frac{- 1}{2}$

Étape 3.3.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$

Étape 3.4

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$2 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Étape 3.5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ est $- \frac{π}{6}$ .

$2 x = - \frac{π}{6}$

Étape 3.6

Divisez chaque terme dans $2 x = - \frac{π}{6}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.6.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - \frac{π}{6}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Étape 3.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Étape 3.6.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Étape 3.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.6.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 3.6.3.2

Multipliez $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 3.6.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

Étape 3.6.3.2.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$x = - \frac{π}{12}$

Étape 3.7

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Étape 3.8

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 3.8.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Étape 3.8.2

L’angle résultant de $\frac{7 π}{6}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = \frac{7 π}{6}$

Étape 3.8.3

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{7 π}{6}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.8.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{7 π}{6}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Étape 3.8.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.8.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.8.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Étape 3.8.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Étape 3.8.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.8.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 3.8.3.3.2

Multipliez $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 3.8.3.3.2.1

Multipliez $\frac{7 π}{6}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

Étape 3.8.3.3.2.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Étape 3.9

Déterminez la période de $\sin (2 x)$ .

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Étape 3.9.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.9.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 3.9.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 3.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 3.9.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 3.10

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 3.10.1

Ajoutez $π$ à $- \frac{π}{12}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{12} + π$

Étape 3.10.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{12}{12}$ .

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

Étape 3.10.3

Associez les fractions.

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Étape 3.10.3.1

Associez $π$ et $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

Étape 3.10.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 12 - π}{12}$

Étape 3.10.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.10.4.1

Déplacez $12$ à gauche de $π$ .

$\frac{12 \cdot π - π}{12}$

Étape 3.10.4.2

Soustrayez $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{12}$

Étape 3.10.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{11 π}{12}$

Étape 3.11

La période de la fonction $\sin (2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{7 π}{12}$ dans $f (x) = 12 x^{2} - 12 \sin (2 x)$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{7 π}{12}$ dans l’expression.

$f (\frac{7 π}{12}) = 12 {(\frac{7 π}{12})}^{2} - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{7 π}{12}$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = 12 (\frac{{(7 π)}^{2}}{12^{2}}) - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Étape 4.1.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $7 π$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = 12 (\frac{7^{2} π^{2}}{12^{2}}) - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Étape 4.1.2.1.2

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = 12 (\frac{49 π^{2}}{12^{2}}) - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Étape 4.1.2.1.3

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = 12 (\frac{49 π^{2}}{144}) - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Étape 4.1.2.1.4

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 4.1.2.1.4.1

Factorisez $12$ à partir de $144$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = 12 (\frac{49 π^{2}}{12 (12)}) - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Étape 4.1.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{7 π}{12}) = 12 (\frac{49 π^{2}}{12 \cdot 12}) - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Étape 4.1.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Étape 4.1.2.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{2 (6)}))$

Étape 4.1.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{2 \cdot 6}))$

Étape 4.1.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} - 12 \sin (\frac{7 π}{6})$

Étape 4.1.2.1.6

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le troisième quadrant.

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} - 12 (- \sin (\frac{π}{6}))$

Étape 4.1.2.1.7

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} - 12 (- \frac{1}{2})$

Étape 4.1.2.1.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.1.8.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} - 12 (\frac{- 1}{2})$

Étape 4.1.2.1.8.2

Factorisez $2$ à partir de $- 12$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} + 2 (- 6) (\frac{- 1}{2})$

Étape 4.1.2.1.8.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} + 2 \cdot (- 6 (\frac{- 1}{2}))$

Étape 4.1.2.1.8.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} - 6 \cdot - 1$

Étape 4.1.2.1.9

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} + 6$

Étape 4.1.2.2

La réponse finale est $\frac{49 π^{2}}{12} + 6$ .

$\frac{49 π^{2}}{12} + 6$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $\frac{7 π}{12}$ dans $f (x) = 12 x^{2} - 12 \sin (2 x)$ est $(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{12} + 6)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{12} + 6)$

Étape 4.3

Remplacez $\frac{11 π}{12}$ dans $f (x) = 12 x^{2} - 12 \sin (2 x)$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{11 π}{12}$ dans l’expression.

$f (\frac{11 π}{12}) = 12 {(\frac{11 π}{12})}^{2} - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{11 π}{12}$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = 12 (\frac{{(11 π)}^{2}}{12^{2}}) - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Étape 4.3.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $11 π$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = 12 (\frac{11^{2} π^{2}}{12^{2}}) - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Étape 4.3.2.1.2

Élevez $11$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = 12 (\frac{121 π^{2}}{12^{2}}) - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Étape 4.3.2.1.3

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = 12 (\frac{121 π^{2}}{144}) - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Étape 4.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 4.3.2.1.4.1

Factorisez $12$ à partir de $144$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = 12 (\frac{121 π^{2}}{12 (12)}) - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Étape 4.3.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{11 π}{12}) = 12 (\frac{121 π^{2}}{12 \cdot 12}) - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Étape 4.3.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Étape 4.3.2.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{2 (6)}))$

Étape 4.3.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{2 \cdot 6}))$

Étape 4.3.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} - 12 \sin (\frac{11 π}{6})$

Étape 4.3.2.1.6

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} - 12 (- \sin (\frac{π}{6}))$

Étape 4.3.2.1.7

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} - 12 (- \frac{1}{2})$

Étape 4.3.2.1.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.1.8.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} - 12 (\frac{- 1}{2})$

Étape 4.3.2.1.8.2

Factorisez $2$ à partir de $- 12$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} + 2 (- 6) (\frac{- 1}{2})$

Étape 4.3.2.1.8.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} + 2 \cdot (- 6 (\frac{- 1}{2}))$

Étape 4.3.2.1.8.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} - 6 \cdot - 1$

Étape 4.3.2.1.9

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} + 6$

Étape 4.3.2.2

La réponse finale est $\frac{121 π^{2}}{12} + 6$ .

$\frac{121 π^{2}}{12} + 6$

Étape 4.4

Le point trouvé en remplaçant $\frac{11 π}{12}$ dans $f (x) = 12 x^{2} - 12 \sin (2 x)$ est $(\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{12} + 6)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{12} + 6)$

Étape 4.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{12} + 6), (\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{12} + 6)$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, \frac{7 π}{12}) \cup (\frac{7 π}{12}, \frac{11 π}{12}) \cup (\frac{11 π}{12}, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, \frac{7 π}{12})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $1.73259571$ dans l’expression.

$f'' (1.73259571) = 24 + 48 \sin (2 (1.73259571))$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Multipliez $2$ par $1.73259571$ .

$f'' (1.73259571) = 24 + 48 \sin (3.46519142)$

Étape 6.2.2

La réponse finale est $24 + 48 \sin (3.46519142)$ .

$24 + 48 \sin (3.46519142)$

Étape 6.3

Sur $1.73259571$ , la dérivée seconde est $8.73693112$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty, \frac{7 π}{12})$ .

Augmente sur $(- \infty, \frac{7 π}{12})$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{7 π}{12}, \frac{11 π}{12})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $2.35619449$ dans l’expression.

$f'' (2.35619449) = 24 + 48 \sin (2 (2.35619449))$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Multipliez $2$ par $2.35619449$ .

$f'' (2.35619449) = 24 + 48 \sin (4.71238898)$

Étape 7.2.2

La réponse finale est $24 + 48 \sin (4.71238898)$ .

$24 + 48 \sin (4.71238898)$

Étape 7.3

Sur $2.35619449$ , la dérivée seconde est $- 24$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(\frac{7 π}{12}, \frac{11 π}{12})$

Diminue sur $(\frac{7 π}{12}, \frac{11 π}{12})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{11 π}{12}, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $2.97979326$ dans l’expression.

$f'' (2.97979326) = 24 + 48 \sin (2 (2.97979326))$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Multipliez $2$ par $2.97979326$ .

$f'' (2.97979326) = 24 + 48 \sin (5.95958653)$

Étape 8.2.2

La réponse finale est $24 + 48 \sin (5.95958653)$ .

$24 + 48 \sin (5.95958653)$

Étape 8.3

Sur $2.97979326$ , la dérivée seconde est $8.73693112$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(\frac{11 π}{12}, \infty)$ .

Augmente sur $(\frac{11 π}{12}, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 9

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, les points d’inflexion sont $(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{12} + 6), (\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{12} + 6)$ .

$(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{12} + 6), (\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{12} + 6)$

Étape 10