Calcul infinitésimal Exemples

$6 \sin (x) + \sin (2 x)$

Étape 1

Écrivez $6 \sin (x) + \sin (2 x)$ comme une fonction.

$f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 \sin (x) + \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$ .

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Étape 2.1.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 2.1.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$6 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Étape 2.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$6 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.1.3.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$6 \cos (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.1.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Étape 2.1.3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

Étape 2.1.3.5

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Étape 2.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$ .

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Étape 2.2.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Étape 2.2.2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$6 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Étape 2.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$- 6 \sin (x) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Étape 2.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

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Étape 2.2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- 6 \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$- 6 \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.2.3.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- 6 \sin (x) + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$- 6 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.2.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 6 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Étape 2.2.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 6 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Étape 2.2.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 6 \sin (x) + 2 (- 2 \sin (2 x))$

Étape 2.2.3.7

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f'' (x) = - 6 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 6 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$ .

$- 6 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 6 \sin (x) - 4 \sin (2 x) = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- 6 \sin (x) - 4 \sin (2 x) = 0$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$- 6 \sin (x) - 4 (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Étape 3.2.2

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$- 6 \sin (x) - 8 \sin (x) \cos (x) = 0$

Étape 3.3

Factorisez $2 \sin (x)$ à partir de $- 6 \sin (x) - 8 \sin (x) \cos (x)$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $2 \sin (x)$ à partir de $- 6 \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cdot - 3 - 8 \sin (x) \cos (x) = 0$

Étape 3.3.2

Factorisez $2 \sin (x)$ à partir de $- 8 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cdot - 3 + 2 \sin (x) (- 4 \cos (x)) = 0$

Étape 3.3.3

Factorisez $2 \sin (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cdot - 3 + 2 \sin (x) (- 4 \cos (x))$ .

$2 \sin (x) (- 3 - 4 \cos (x)) = 0$

Étape 3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- 3 - 4 \cos (x) = 0$

Étape 3.5

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 3.5.2

Résolvez $\sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.5.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 3.5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 3.5.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 3.5.2.4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 3.5.2.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 3.5.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.5.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.5.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.5.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.5.2.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.6

Définissez $- 3 - 4 \cos (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $- 3 - 4 \cos (x)$ égal à $0$ .

$- 3 - 4 \cos (x) = 0$

Étape 3.6.2

Résolvez $- 3 - 4 \cos (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.6.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$- 4 \cos (x) = 3$

Étape 3.6.2.2

Divisez chaque terme dans $- 4 \cos (x) = 3$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 3.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 4 \cos (x) = 3$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{3}{- 4}$

Étape 3.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 3.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{3}{- 4}$

Étape 3.6.2.2.2.1.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{3}{- 4}$

Étape 3.6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.6.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (x) = - \frac{3}{4}$

Étape 3.6.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- \frac{3}{4})$

Étape 3.6.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.6.2.4.1

Évaluez $\arccos (- \frac{3}{4})$ .

$x = 2.4188584$

Étape 3.6.2.5

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 (3.14159265) - 2.4188584$

Étape 3.6.2.6

Résolvez $x$ .

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Étape 3.6.2.6.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 2 (3.14159265) - 2.4188584$

Étape 3.6.2.6.2

Simplifiez $2 (3.14159265) - 2.4188584$ .

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Étape 3.6.2.6.2.1

Multipliez $2$ par $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.4188584$

Étape 3.6.2.6.2.2

Soustrayez $2.4188584$ de $6.2831853$ .

$x = 3.8643269$

Étape 3.6.2.7

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 3.6.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.6.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.6.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.6.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.6.2.8

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2.4188584 + 2 π n, 3.8643269 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 \sin (x) (- 3 - 4 \cos (x)) = 0$ vraie.

$x = 2 π n, π + 2 π n, 2.4188584 + 2 π n, 3.8643269 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.8

Consolidez $2 π n$ et $π + 2 π n$ en $π n$ .

$x = π n, 2.4188584 + 2 π n, 3.8643269 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 4.1

Le point trouvé en remplaçant dans $f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$ est $(,)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(,)$

Étape 4.2

Remplacez $2.4188584$ dans $f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez la variable $x$ par $2.4188584$ dans l’expression.

$f (2.4188584) = 6 \sin (2.4188584) + \sin (2 (2.4188584))$

Étape 4.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.2.1

Multipliez $2$ par $2.4188584$ .

$f (2.4188584) = 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681)$

Étape 4.2.2.2

La réponse finale est $6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681)$ .

$6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681)$

Étape 4.3

Le point trouvé en remplaçant $2.4188584$ dans $f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$ est $(2.4188584, 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681))$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(2.4188584, 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681))$

Étape 4.4

Remplacez $3.8643269$ dans $f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.4.1

Remplacez la variable $x$ par $3.8643269$ dans l’expression.

$f (3.8643269) = 6 \sin (3.8643269) + \sin (2 (3.8643269))$

Étape 4.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.4.2.1

Multipliez $2$ par $3.8643269$ .

$f (3.8643269) = 6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538)$

Étape 4.4.2.2

La réponse finale est $6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538)$ .

$6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538)$

Étape 4.5

Le point trouvé en remplaçant $3.8643269$ dans $f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$ est $(3.8643269, 6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538))$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(3.8643269, 6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538))$

Étape 4.6

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(,), (2.4188584, 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681)), (3.8643269, 6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538))$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty,) \cup (, 2.4188584) \cup (2.4188584, 3.8643269) \cup (3.8643269, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty,)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.1$ dans l’expression.

$f'' (- 0.1) = - 6 \sin (- 0.1) - 4 \sin (2 (- 0.1))$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Multipliez $2$ par $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 6 \sin (- 0.1) - 4 \sin (- 0.2)$

Étape 6.2.2

La réponse finale est $- 6 \sin (- 0.1) - 4 \sin (- 0.2)$ .

$- 6 \sin (- 0.1) - 4 \sin (- 0.2)$

Étape 6.3

Sur $- 0.1$ , la dérivée seconde est $1.39367782$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- \infty,)$ .

Augmente sur $(- \infty,)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(, 2.4188584)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $1.2094292$ dans l’expression.

$f'' (1.2094292) = - 6 \sin (1.2094292) - 4 \sin (2 (1.2094292))$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Multipliez $2$ par $1.2094292$ .

$f'' (1.2094292) = - 6 \sin (1.2094292) - 4 \sin (2.4188584)$

Étape 7.2.2

La réponse finale est $- 6 \sin (1.2094292) - 4 \sin (2.4188584)$ .

$- 6 \sin (1.2094292) - 4 \sin (2.4188584)$

Étape 7.3

Sur $1.2094292$ , la dérivée seconde est $- 8.25823739$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(, 2.4188584)$

Diminue sur $(, 2.4188584)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(2.4188584, 3.8643269)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $3.14159265$ dans l’expression.

$f'' (3.14159265) = - 6 \sin (3.14159265) - 4 \sin (2 (3.14159265))$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Multipliez $2$ par $3.14159265$ .

$f'' (3.14159265) = - 6 \sin (3.14159265) - 4 \sin (6.2831853)$

Étape 8.2.2

La réponse finale est $- 6 \sin (3.14159265) - 4 \sin (6.2831853)$ .

$- 6 \sin (3.14159265) - 4 \sin (6.2831853)$

Étape 8.3

Sur $3.14159265$ , la dérivée seconde est $2.44929359 E - 16$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(2.4188584, 3.8643269)$ .

Augmente sur $(2.4188584, 3.8643269)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(3.8643269, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $3.9643269$ dans l’expression.

$f'' (3.9643269) = - 6 \sin (3.9643269) - 4 \sin (2 (3.9643269))$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

Multipliez $2$ par $3.9643269$ .

$f'' (3.9643269) = - 6 \sin (3.9643269) - 4 \sin (7.9286538)$

Étape 9.2.2

La réponse finale est $- 6 \sin (3.9643269) - 4 \sin (7.9286538)$ .

$- 6 \sin (3.9643269) - 4 \sin (7.9286538)$

Étape 9.3

Sur $3.9643269$ , la dérivée seconde est $0.40919742$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(3.8643269, \infty)$ .

Augmente sur $(3.8643269, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 10

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, les points d’inflexion sont $(,), (2.4188584, 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681))$ .

$(,), (2.4188584, 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681))$

Étape 11