Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (x^{2} - 4 x + 29)$

Étape 1

Écrivez $\ln (x^{2} - 4 x + 29)$ comme une fonction.

$f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 29)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2} - 4 x + 29$ .

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Étape 2.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 4 x + 29$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]$

Étape 2.1.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]$

Étape 2.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 4 x + 29$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4 x + 29$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29])$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29])$

Étape 2.1.2.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [29])$

Étape 2.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [29])$

Étape 2.1.2.5

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [29])$

Étape 2.1.2.6

Comme $29$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $29$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4 + 0)$

Étape 2.1.2.7

Additionnez $2 x - 4$ et $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4)$

Étape 2.1.3

Simplifiez

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Étape 2.1.3.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4)$ .

$(2 x - 4) \frac{1}{x^{2} - 4 x + 29}$

Étape 2.1.3.2

Multipliez $2 x - 4$ par $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29}$ .

$\frac{2 x - 4}{x^{2} - 4 x + 29}$

Étape 2.1.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x - 4$ .

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Étape 2.1.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 4}{x^{2} - 4 x + 29}$

Étape 2.1.3.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot - 2}{x^{2} - 4 x + 29}$

Étape 2.1.3.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot - 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 29}$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 29}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{x^{2} - 4 x + 29}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{x^{2} - 4 x + 29}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x - 2$ et $g (x) = x^{2} - 4 x + 29$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 29) \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.3

Différenciez.

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Étape 2.2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 29) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 29) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.3.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 29) (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 29) \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.3.4.2

Multipliez $x^{2} - 4 x + 29$ par $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4 x + 29$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29]$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29])}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29])}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.3.7

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [29])}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [29])}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.3.9

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [29])}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.3.10

Comme $29$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $29$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4 + 0)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.3.11

Associez les fractions.

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Étape 2.2.3.11.1

Additionnez $2 x - 4$ et $0$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.3.11.2

Associez $2$ et $\frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.4

Simplifiez

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Étape 2.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 29 + (- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 29 + 2 ((- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.3.1.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 29 + 2 ((- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.4.3.1.2

Multipliez $2$ par $29$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 ((- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.4.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 ((- x + 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.4.3.1.4

Développez $(- x + 2) (2 x - 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.4.3.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- x (2 x - 4) + 2 (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.4.3.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 4 + 2 (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.4.3.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.4.3.1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.4.3.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.3.1.5.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.4.3.1.5.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.4.3.1.5.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.4.3.1.5.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.4.3.1.5.1.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2} - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.4.3.1.5.1.4

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2} + 4 x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.4.3.1.5.1.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2} + 4 x + 4 x + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.4.3.1.5.1.6

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2} + 4 x + 4 x - 8)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.4.3.1.5.2

Additionnez $4 x$ et $4 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x - 8)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.4.3.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (8 x) + 2 \cdot - 8}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.4.3.1.7

Simplifiez

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Étape 2.2.4.3.1.7.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 - 4 x^{2} + 2 (8 x) + 2 \cdot - 8}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.4.3.1.7.2

Multipliez $8$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 - 4 x^{2} + 16 x + 2 \cdot - 8}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.4.3.1.7.3

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 - 4 x^{2} + 16 x - 16}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.4.3.2

Soustrayez $4 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 8 x + 58 + 16 x - 16}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.4.3.3

Additionnez $- 8 x$ et $16 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x + 58 - 16}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.4.3.4

Soustrayez $16$ de $58$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x + 42}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2} + 8 x + 42$ .

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Étape 2.2.4.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 8 x + 42}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.4.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $8 x$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (4 x) + 42}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.4.4.1.3

Factorisez $2$ à partir de $42$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (4 x) + 2 (21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.4.4.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{2}) + 2 (4 x)$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x) + 2 (21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.4.4.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{2} + 4 x) + 2 (21)$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x + 21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.4.4.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.4.4.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 21 = - 21$ et dont la somme est $b = 4$ .

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Étape 2.2.4.4.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 4 (x) + 21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.4.4.2.1.2

Réécrivez $4$ comme $- 3$ plus $7$

$\frac{2 (- x^{2} + (- 3 + 7) x + 21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.4.4.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- x^{2} - 3 x + 7 x + 21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.4.4.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.4.4.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{2 ((- x^{2} - 3 x) + 7 x + 21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.4.4.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{2 (x (- x - 3) - 7 (- x - 3))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.4.4.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x - 3$ .

$\frac{2 ((- x - 3) (x - 7))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

$\frac{2 (- x - 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) - 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.4.6

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (3)) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.4.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (3)$ .

$\frac{2 (- (x + 3)) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.4.8

Réécrivez $- (x + 3)$ comme $- 1 (x + 3)$ .

$\frac{2 (- 1 (x + 3)) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.4.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(2 (x + 3)) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.2.4.10

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{(2 (x + 3)) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x + 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{2 (x + 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$ .

$- \frac{2 (x + 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{2 (x + 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- \frac{2 (x + 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 (x + 3) (x - 7) = 0$

Étape 3.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 3.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 7 = 0$

Étape 3.3.2

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.2.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 3.3.3

Définissez $x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.3.1

Définissez $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 3.3.3.2

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$

Étape 3.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (x + 3) (x - 7) = 0$ vraie.

$x = - 3, 7$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 4.1

Remplacez $- 3$ dans $f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 29)$ pour déterminer la valeur de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f (- 3) = \ln ({(- 3)}^{2} - 4 \cdot - 3 + 29)$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$f (- 3) = \ln (9 - 4 \cdot - 3 + 29)$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$f (- 3) = \ln (9 + 12 + 29)$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.2.1

Additionnez $9$ et $12$ .

$f (- 3) = \ln (21 + 29)$

Étape 4.1.2.2.2

Additionnez $21$ et $29$ .

$f (- 3) = \ln (50)$

Étape 4.1.2.3

La réponse finale est $\ln (50)$ .

$\ln (50)$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $- 3$ dans $f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 29)$ est $(- 3, \ln (50))$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 3, \ln (50))$

Étape 4.3

Remplacez $7$ dans $f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 29)$ pour déterminer la valeur de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $7$ dans l’expression.

$f (7) = \ln ({(7)}^{2} - 4 \cdot 7 + 29)$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$f (7) = \ln (49 - 4 \cdot 7 + 29)$

Étape 4.3.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $7$ .

$f (7) = \ln (49 - 28 + 29)$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.1

Soustrayez $28$ de $49$ .

$f (7) = \ln (21 + 29)$

Étape 4.3.2.2.2

Additionnez $21$ et $29$ .

$f (7) = \ln (50)$

Étape 4.3.2.3

La réponse finale est $\ln (50)$ .

$\ln (50)$

Étape 4.4

Le point trouvé en remplaçant $7$ dans $f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 29)$ est $(7, \ln (50))$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(7, \ln (50))$

Étape 4.5

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(- 3, \ln (50)), (7, \ln (50))$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 7) \cup (7, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 3)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3.1$ dans l’expression.

$f'' (- 3.1) = - \frac{2 ((- 3.1) + 3) ((- 3.1) - 7)}{{({(- 3.1)}^{2} - 4 \cdot - 3.1 + 29)}^{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Additionnez $- 3.1$ et $3$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2 \cdot (- 0.1 (- 3.1 - 7))}{{({(- 3.1)}^{2} - 4 \cdot - 3.1 + 29)}^{2}}$

Étape 6.2.1.2

Associez les exposants.

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Étape 6.2.1.2.1

Multipliez $2$ par $- 0.1$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{- 0.2 (- 3.1 - 7)}{{({(- 3.1)}^{2} - 4 \cdot - 3.1 + 29)}^{2}}$

Étape 6.2.1.2.2

Multipliez $- 0.2$ par $- 3.1 - 7$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{{({(- 3.1)}^{2} - 4 \cdot - 3.1 + 29)}^{2}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

Élevez $- 3.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{{(9.61 - 4 \cdot - 3.1 + 29)}^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 3.1$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{{(9.61 + 12.4 + 29)}^{2}}$

Étape 6.2.2.3

Additionnez $9.61$ et $12.4$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{{(22.01 + 29)}^{2}}$

Étape 6.2.2.4

Additionnez $22.01$ et $29$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{{51.01}^{2}}$

Étape 6.2.2.5

Élevez $51.01$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{2602.0201}$

Étape 6.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.3.1

Divisez $2.02$ par $2602.0201$ .

$f'' (- 3.1) = - 1 \cdot 0.00077631$

Étape 6.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $0.00077631$ .

$f'' (- 3.1) = - 0.00077631$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $- 0.00077631$ .

$- 0.00077631$

Étape 6.3

Sur $- 3.1$ , la dérivée seconde est $- 0.00077631$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, - 3)$

Diminue sur $(- \infty, - 3)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 3, 7)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f'' (2) = - \frac{2 ((2) + 3) ((2) - 7)}{{({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 29)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Additionnez $2$ et $3$ .

$f'' (2) = - \frac{2 \cdot (5 (2 - 7))}{{(2^{2} - 4 \cdot 2 + 29)}^{2}}$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$f'' (2) = - \frac{10 (2 - 7)}{{(2^{2} - 4 \cdot 2 + 29)}^{2}}$

Étape 7.2.1.3

Soustrayez $7$ de $2$ .

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{{(2^{2} - 4 \cdot 2 + 29)}^{2}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{{(4 - 4 \cdot 2 + 29)}^{2}}$

Étape 7.2.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{{(4 - 8 + 29)}^{2}}$

Étape 7.2.2.3

Soustrayez $8$ de $4$ .

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{{(- 4 + 29)}^{2}}$

Étape 7.2.2.4

Additionnez $- 4$ et $29$ .

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{25^{2}}$

Étape 7.2.2.5

Élevez $25$ à la puissance $2$ .

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{625}$

Étape 7.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.1

Multipliez $10$ par $- 5$ .

$f'' (2) = - \frac{- 50}{625}$

Étape 7.2.3.2

Annulez le facteur commun à $- 50$ et $625$ .

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Étape 7.2.3.2.1

Factorisez $25$ à partir de $- 50$ .

$f'' (2) = - \frac{25 (- 2)}{625}$

Étape 7.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.2.2.1

Factorisez $25$ à partir de $625$ .

$f'' (2) = - \frac{25 \cdot - 2}{25 \cdot 25}$

Étape 7.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (2) = - \frac{25 \cdot - 2}{25 \cdot 25}$

Étape 7.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (2) = - \frac{- 2}{25}$

Étape 7.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (2) = \frac{2}{25}$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $\frac{2}{25}$ .

$\frac{2}{25}$

Étape 7.3

Sur $2$ , la dérivée seconde est $0.08$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- 3, 7)$ .

Augmente sur $(- 3, 7)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(7, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $7.1$ dans l’expression.

$f'' (7.1) = - \frac{2 ((7.1) + 3) ((7.1) - 7)}{{({(7.1)}^{2} - 4 \cdot 7.1 + 29)}^{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.1.1

Additionnez $7.1$ et $3$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2 \cdot (10.1 (7.1 - 7))}{{({7.1}^{2} - 4 \cdot 7.1 + 29)}^{2}}$

Étape 8.2.1.2

Associez les exposants.

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Étape 8.2.1.2.1

Multipliez $2$ par $10.1$ .

$f'' (7.1) = - \frac{20.2 (7.1 - 7)}{{({7.1}^{2} - 4 \cdot 7.1 + 29)}^{2}}$

Étape 8.2.1.2.2

Multipliez $20.2$ par $7.1 - 7$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{{({7.1}^{2} - 4 \cdot 7.1 + 29)}^{2}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Élevez $7.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{{(50.41 - 4 \cdot 7.1 + 29)}^{2}}$

Étape 8.2.2.2

Multipliez $- 4$ par $7.1$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{{(50.41 - 28.4 + 29)}^{2}}$

Étape 8.2.2.3

Soustrayez $28.4$ de $50.41$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{{(22.01 + 29)}^{2}}$

Étape 8.2.2.4

Additionnez $22.01$ et $29$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{{51.01}^{2}}$

Étape 8.2.2.5

Élevez $51.01$ à la puissance $2$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{2602.0201}$

Étape 8.2.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.3.1

Divisez $2.02$ par $2602.0201$ .

$f'' (7.1) = - 1 \cdot 0.00077631$

Étape 8.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $0.00077631$ .

$f'' (7.1) = - 0.00077631$

Étape 8.2.4

La réponse finale est $- 0.00077631$ .

$- 0.00077631$

Étape 8.3

Sur $7.1$ , la dérivée seconde est $- 0.00077631$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(7, \infty)$

Diminue sur $(7, \infty)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 9

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, les points d’inflexion sont $(- 3, \ln (50)), (7, \ln (50))$ .

$(- 3, \ln (50)), (7, \ln (50))$

Étape 10