Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x + 2 \cos (x)$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$1 + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.1.2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$1 + 2 (- \sin (x))$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = 1 - 2 \sin (x)$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 1.1.2.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.2.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$0 - 2 \cos (x)$

Étape 1.1.2.3

Soustrayez $2 \cos (x)$ de $0$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x)$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \cos (x)$ .

$- 2 \cos (x)$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 2 \cos (x) = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- 2 \cos (x) = 0$

Étape 1.2.2

Divisez chaque terme dans $- 2 \cos (x) = 0$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \cos (x) = 0$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{0}{- 2}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.1

Divisez $0$ par $- 2$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 1.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 1.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 1.2.5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.6

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 1.2.6.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.6.2

Associez les fractions.

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Étape 1.2.6.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 1.2.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 1.2.6.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 1.2.7

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 1.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 1.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 1.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 1.2.8

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2.9

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = - 2 \cos (0)$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f'' (0) = - 2 \cdot 1$

Étape 4.2.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f'' (0) = - 2$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $- 2$ .

$- 2$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ car $f'' (0)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 5