Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 18 x + 18 e^{x}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $18 x + 18 e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [18 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [18 e^{x}]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [18 x]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18 x$ par rapport à $x$ est $18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [18 e^{x}]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [18 e^{x}]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $18$ par $1$ .

$18 + \frac{d}{d x} [18 e^{x}]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [18 e^{x}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18 e^{x}$ par rapport à $x$ est $18 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$18 + 18 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$18 + 18 e^{x}$

Étape 1.1.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 18 e^{x} + 18$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $18 e^{x} + 18$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [18 e^{x}] + \frac{d}{d x} [18]$ .

$\frac{d}{d x} [18 e^{x}] + \frac{d}{d x} [18]$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [18 e^{x}]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18 e^{x}$ par rapport à $x$ est $18 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$18 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [18]$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$18 e^{x} + \frac{d}{d x} [18]$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.2.3.1

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18$ par rapport à $x$ est $0$ .

$18 e^{x} + 0$

Étape 1.1.2.3.2

Additionnez $18 e^{x}$ et $0$ .

$f'' (x) = 18 e^{x}$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $18 e^{x}$ .

$18 e^{x}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $18 e^{x} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$18 e^{x} = 0$

Étape 1.2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (18 e^{x}) = \ln (0)$

Étape 1.2.3

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 1.2.4

Il n’y a pas de solution pour $18 e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Le graphe est concave vers le haut car la dérivée seconde est positive.

Le graphe est concave vers le haut

Étape 4