Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 9 \sin (x) + 9 \cos (x)$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 \sin (x) + 9 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [9 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [9 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [9 \cos (x)]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 \sin (x)]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [9 \cos (x)]$

Étape 1.1.1.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$9 \cos (x) + \frac{d}{d x} [9 \cos (x)]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 \cos (x)]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$9 \cos (x) + 9 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.1.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$9 \cos (x) + 9 (- \sin (x))$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$f' (x) = 9 \cos (x) - 9 \sin (x)$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 \cos (x) - 9 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 9 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [9 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 9 \sin (x)]$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 \cos (x)]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 9 \sin (x)]$

Étape 1.1.2.2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$9 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 9 \sin (x)]$

Étape 1.1.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$- 9 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 9 \sin (x)]$

Étape 1.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 9 \sin (x)]$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 9 \sin (x) - 9 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.2.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 9 \sin (x) - 9 \cos (x)$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 9 \sin (x) - 9 \cos (x)$ .

$- 9 \sin (x) - 9 \cos (x)$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 9 \sin (x) - 9 \cos (x) = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$- 9 \sin (x) - 9 \cos (x) = 0$

Étape 1.2.2

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{- 9 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- 9 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 1.2.3

Séparez les fractions.

$\frac{- 9}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- 9 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 1.2.4

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{- 9}{1} \cdot \tan (x) + \frac{- 9 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 1.2.5

Divisez $- 9$ par $1$ .

$- 9 \tan (x) + \frac{- 9 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 1.2.6

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 1.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$- 9 \tan (x) + \frac{- 9 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 1.2.6.2

Divisez $- 9$ par $1$ .

$- 9 \tan (x) - 9 = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 1.2.7

Séparez les fractions.

$- 9 \tan (x) - 9 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 1.2.8

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$- 9 \tan (x) - 9 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Étape 1.2.9

Divisez $0$ par $1$ .

$- 9 \tan (x) - 9 = 0 \sec (x)$

Étape 1.2.10

Multipliez $0$ par $\sec (x)$ .

$- 9 \tan (x) - 9 = 0$

Étape 1.2.11

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$- 9 \tan (x) = 9$

Étape 1.2.12

Divisez chaque terme dans $- 9 \tan (x) = 9$ par $- 9$ et simplifiez.

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Étape 1.2.12.1

Divisez chaque terme dans $- 9 \tan (x) = 9$ par $- 9$ .

$\frac{- 9 \tan (x)}{- 9} = \frac{9}{- 9}$

Étape 1.2.12.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.12.2.1

Annulez le facteur commun de $- 9$ .

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Étape 1.2.12.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 9 \tan (x)}{- 9} = \frac{9}{- 9}$

Étape 1.2.12.2.1.2

Divisez $\tan (x)$ par $1$ .

$\tan (x) = \frac{9}{- 9}$

Étape 1.2.12.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.12.3.1

Divisez $9$ par $- 9$ .

$\tan (x) = - 1$

Étape 1.2.13

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Étape 1.2.14

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.14.1

La valeur exacte de $\arctan (- 1)$ est $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Étape 1.2.15

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Étape 1.2.16

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 1.2.16.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Étape 1.2.16.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{4}$ est positif et coterminal avec $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 1.2.17

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 1.2.17.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 1.2.17.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 1.2.17.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 1.2.17.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 1.2.18

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 1.2.18.1

Ajoutez $π$ à $- \frac{π}{4}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{4} + π$

Étape 1.2.18.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 1.2.18.3

Associez les fractions.

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Étape 1.2.18.3.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 1.2.18.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 1.2.18.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.18.4.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Étape 1.2.18.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Étape 1.2.18.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 1.2.19

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = - 9 \sin (0) - 9 \cos (0)$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$f'' (0) = - 9 \cdot 0 - 9 \cos (0)$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- 9$ par $0$ .

$f'' (0) = 0 - 9 \cos (0)$

Étape 4.2.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f'' (0) = 0 - 9 \cdot 1$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$f'' (0) = 0 - 9$

Étape 4.2.2

Soustrayez $9$ de $0$ .

$f'' (0) = - 9$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $- 9$ .

$- 9$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- \infty, \infty)$ car $f'' (0)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- \infty, \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 5