Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{(1 + x)}{(1 + x^{2})}$

Étape 1

Écrivez $y = \frac{(1 + x)}{(1 + x^{2})}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{(1 + x)}{(1 + x^{2})}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1 + x$ et $g (x) = 1 + x^{2}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(1 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(1 + x^{2}) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.2.5

Multipliez $1 + x^{2}$ par $1$ .

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.2.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.2.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.2.8

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1 + x^{2} - (1 + x) (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.2.10

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 (1 + x) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.3

Simplifiez

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Étape 2.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 + x^{2} + (- 2 \cdot 1 - 2 x) x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 + x^{2} - 2 \cdot 1 x - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.3.1.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 x - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.3.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 x - 2 (x \cdot x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{1 + x^{2} - 2 x - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.3.3.2

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{1 - x^{2} - 2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 2.1.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x^{2} - 2 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - 2 x + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{- (x^{2}) - (2 x) + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (2 x)$ .

$\frac{- (x^{2} + 2 x) + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.3.8

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x^{2} + 2 x) - 1 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.3.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} + 2 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x^{2} + 2 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.3.10

Réécrivez $- (x^{2} + 2 x - 1)$ comme $- 1 (x^{2} + 2 x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + 2 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.1.3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 2.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}] + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.2

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1] - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.3

Différenciez.

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Étape 2.2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1] - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 1] - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.3.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.3.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.3.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2 + 0) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.3.8

Additionnez $2 x + 2$ et $0$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Étape 2.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 1$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 1) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 1) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.2.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.5.2

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de ${(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

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Étape 2.2.5.2.1

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de ${(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 2)$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2)) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.5.2.2

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $- 2 (x^{2} + 2 x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2)) + (x^{2} + 1) (- 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.5.2.3

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2)) + (x^{2} + 1) (- 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.6.1

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{(x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.9

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.10.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.10.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + \frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot 0$

Étape 2.2.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.12.1

Multipliez $\frac{x^{2} + 2 x - 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ par $0$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} + 0$

Étape 2.2.12.2

Additionnez $- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ et $0$ .

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 (x^{2} + 2 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.13

Simplifiez

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Étape 2.2.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) + (- 4 x^{2} - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.13.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 2) - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.13.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.13.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.13.3.1.1

Développez $(x^{2} + 1) (2 x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.13.3.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{x^{2} (2 x + 2) + 1 (2 x + 2) - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.13.3.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x + 2) - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.13.3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.13.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.13.3.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.13.3.1.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.13.3.1.2.2.1

Déplacez $x$ .

$- \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.13.3.1.2.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.13.3.1.2.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.13.3.1.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.13.3.1.2.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.13.3.1.2.3

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.13.3.1.2.4

Multipliez $2 x$ par $1$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 1 \cdot 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.13.3.1.2.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{2} x - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.13.3.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.13.3.1.3.1

Déplacez $x$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 (x \cdot x^{2}) - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.13.3.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.2.13.3.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 (x^{1} x^{2}) - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.13.3.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{1 + 2} - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.13.3.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 4 (2 x) x - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.13.3.1.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.13.3.1.4.1

Déplacez $x$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 4 (2 (x \cdot x)) - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.13.3.1.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 4 (2 x^{2}) - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.13.3.1.5

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 8 x^{2} - 4 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.13.3.1.6

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$- \frac{2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.13.3.2

Soustrayez $4 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$- \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + 2 - 8 x^{2} + 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.13.3.3

Soustrayez $8 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$- \frac{- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x + 2 + 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.13.3.4

Additionnez $2 x$ et $4 x$ .

$- \frac{- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.13.4

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{3} - 6 x^{2} + 6 x + 2$ .

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Étape 2.2.13.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$- \frac{2 (- x^{3}) - 6 x^{2} + 6 x + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.13.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x^{2}$ .

$- \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 6 x + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.13.4.3

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$- \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (3 x) + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.13.4.4

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (3 x) + 2 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.13.4.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{3}) + 2 (- 3 x^{2})$ .

$- \frac{2 (- x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (3 x) + 2 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.13.4.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{3} - 3 x^{2}) + 2 (3 x)$ .

$- \frac{2 (- x^{3} - 3 x^{2} + 3 x) + 2 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.13.4.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x^{3} - 3 x^{2} + 3 x) + 2 (1)$ .

$- \frac{2 (- x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.13.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{3}$ .

$- \frac{2 (- (x^{3}) - 3 x^{2} + 3 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.13.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{2 (- (x^{3}) - (3 x^{2}) + 3 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.13.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3}) - (3 x^{2})$ .

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2}) + 3 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.13.8

Factorisez $- 1$ à partir de $3 x$ .

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2}) - (- 3 x) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.13.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3} + 3 x^{2}) - (- 3 x)$ .

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.13.10

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x) - 1 (- 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.13.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x) - 1 (- 1)$ .

$- \frac{2 (- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.13.12

Réécrivez $- (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)$ comme $- 1 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)$ .

$- \frac{2 (- 1 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.13.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.13.14

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.2.13.15

Multipliez $\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 2.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 3

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1) = 0$

Étape 3.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1.1

Divisez chaque terme dans $2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 3.3.1.2.1.2

Divisez $x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1$ par $1$ .

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1 = \frac{0}{2}$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

Étape 3.3.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Regroupez les termes.

$x^{3} - 1 + 3 x^{2} - 3 x = 0$

Étape 3.3.2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$x^{3} - 1^{3} + 3 x^{2} - 3 x = 0$

Étape 3.3.2.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) + 3 x^{2} - 3 x = 0$

Étape 3.3.2.4

Simplifiez

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Étape 3.3.2.4.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) + 3 x^{2} - 3 x = 0$

Étape 3.3.2.4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x^{2} - 3 x = 0$

Étape 3.3.2.5

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{2} - 3 x$ .

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Étape 3.3.2.5.1

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{2}$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x) - 3 x = 0$

Étape 3.3.2.5.2

Factorisez $3 x$ à partir de $- 3 x$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x) + 3 x (- 1) = 0$

Étape 3.3.2.5.3

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (x) + 3 x (- 1)$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x - 1) = 0$

Étape 3.3.2.6

Factorisez $x - 1$ à partir de $(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 3 x (x - 1)$ .

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Étape 3.3.2.6.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $3 x (x - 1)$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) + (x - 1) (3 x) = 0$

Étape 3.3.2.6.2

Factorisez $x - 1$ à partir de $(x - 1) (x^{2} + x + 1) + (x - 1) (3 x)$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1 + 3 x) = 0$

Étape 3.3.2.7

Additionnez $x$ et $3 x$ .

$(x - 1) (x^{2} + 4 x + 1) = 0$

Étape 3.3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Étape 3.3.4

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.4.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 3.3.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 3.3.5

Définissez $x^{2} + 4 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.5.1

Définissez $x^{2} + 4 x + 1$ égal à $0$ .

$x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Étape 3.3.5.2

Résolvez $x^{2} + 4 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.3.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.3.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 4$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.5.2.3

Simplifiez

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Étape 3.3.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.5.2.3.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 3.3.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.5.2.3.1.3

Soustrayez $4$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.5.2.3.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.3.5.2.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.5.2.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.5.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.3.5.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Étape 3.3.5.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 3.3.5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.5.2.4.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 3.3.5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.5.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.5.2.4.1.3

Soustrayez $4$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.5.2.4.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.3.5.2.4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.5.2.4.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.5.2.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.3.5.2.4.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Étape 3.3.5.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = - 2 + \sqrt{3}$

Étape 3.3.5.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.3.5.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.5.2.5.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.5.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 3.3.5.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.5.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.5.2.5.1.3

Soustrayez $4$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.5.2.5.1.4

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.3.5.2.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.5.2.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.5.2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.5.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.3.5.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Étape 3.3.5.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = - 2 - \sqrt{3}$

Étape 3.3.5.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 2 + \sqrt{3}, - 2 - \sqrt{3}$

Étape 3.3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 1) (x^{2} + 4 x + 1) = 0$ vraie.

$x = 1, - 2 + \sqrt{3}, - 2 - \sqrt{3}$

Étape 4

Déterminez les points où se trouve la dérivée seconde $0$ .

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Étape 4.1

Remplacez $1$ dans $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \frac{1 + 1}{1 + {(1)}^{2}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.1

Supprimez les parenthèses.

$f (1) = \frac{1 + 1}{1 + {(1)}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (1) = \frac{2}{1 + 1^{2}}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = \frac{2}{1 + 1}$

Étape 4.1.2.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (1) = \frac{2}{2}$

Étape 4.1.2.3

Divisez $2$ par $2$ .

$f (1) = 1$

Étape 4.1.2.4

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 4.2

Le point trouvé en remplaçant $1$ dans $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ est $(1, 1)$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(1, 1)$

Étape 4.3

Remplacez $- 2 + \sqrt{3}$ dans $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2 + \sqrt{3}$ dans l’expression.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1 - 2 + \sqrt{3}}{1 + {(- 2 + \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1

Supprimez les parenthèses.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1 - 2 + \sqrt{3}}{1 + {(- 2 + \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 4.3.2.1.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + {(- 2 + \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.1

Réécrivez ${(- 2 + \sqrt{3})}^{2}$ comme $(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + (- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})}$

Étape 4.3.2.2.2

Développez $(- 2 + \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 - 2 (- 2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (- 2 + \sqrt{3})}$

Étape 4.3.2.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (- 2 + \sqrt{3})}$

Étape 4.3.2.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 4.3.2.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.2.3.1.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot - 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 4.3.2.2.3.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 4.3.2.2.3.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}$

Étape 4.3.2.2.3.1.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}}$

Étape 4.3.2.2.3.1.5

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}$

Étape 4.3.2.2.3.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3}$

Étape 4.3.2.2.3.2

Additionnez $4$ et $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 7 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}$

Étape 4.3.2.2.3.3

Soustrayez $2 \sqrt{3}$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{1 + 7 - 4 \sqrt{3}}$

Étape 4.3.2.2.4

Additionnez $1$ et $7$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$

Étape 4.3.2.3

Multipliez $\frac{- 1 + \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$ par $\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}} \cdot \frac{8 + 4 \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$

Étape 4.3.2.4

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.1

Multipliez $\frac{- 1 + \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$ par $\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})}{(8 - 4 \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})}$

Étape 4.3.2.4.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})}{64 + 32 \sqrt{3} - 32 \sqrt{3} - 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 4.3.2.4.3

Simplifiez

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})}{16}$

Étape 4.3.2.4.4

Annulez le facteur commun à $8 + 4 \sqrt{3}$ et $16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.4.1

Factorisez $4$ à partir de $(- 1 + \sqrt{3}) (8 + 4 \sqrt{3})$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}))}{16}$

Étape 4.3.2.4.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.4.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}))}{4 (4)}$

Étape 4.3.2.4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}))}{4 \cdot 4}$

Étape 4.3.2.4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{(- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}{4}$

Étape 4.3.2.5

Développez $(- 1 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 (2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}{4}$

Étape 4.3.2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}{4}$

Étape 4.3.2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.3.2.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.6.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.3.2.6.1.2

Réécrivez $- 1 \sqrt{3}$ comme $- \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.3.2.6.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.3.2.6.1.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{4}$

Étape 4.3.2.6.1.5

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{4}$

Étape 4.3.2.6.1.6

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{4}$

Étape 4.3.2.6.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{- 2 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3}{4}$

Étape 4.3.2.6.2

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1 - \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.3.2.6.3

Additionnez $- \sqrt{3}$ et $2 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 + \sqrt{3}) = \frac{1 + \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.3.2.7

La réponse finale est $\frac{1 + \sqrt{3}}{4}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.4

Le point trouvé en remplaçant $- 2 + \sqrt{3}$ dans $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ est $(- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4})$

Étape 4.5

Remplacez $- 2 - \sqrt{3}$ dans $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ pour déterminer la valeur de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2 - \sqrt{3}$ dans l’expression.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1 - 2 - \sqrt{3}}{1 + {(- 2 - \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 4.5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.1.1

Supprimez les parenthèses.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1 - 2 - \sqrt{3}}{1 + {(- 2 - \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 4.5.2.1.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + {(- 2 - \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 4.5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.2.1

Réécrivez ${(- 2 - \sqrt{3})}^{2}$ comme $(- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + (- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})}$

Étape 4.5.2.2.2

Développez $(- 2 - \sqrt{3}) (- 2 - \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 - 2 (- 2 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 2 - \sqrt{3})}$

Étape 4.5.2.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 - 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (- 2 - \sqrt{3})}$

Étape 4.5.2.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 - 2 \cdot - 2 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Étape 4.5.2.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.2.3.1.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 - 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Étape 4.5.2.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot - 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Étape 4.5.2.2.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Étape 4.5.2.2.3.1.4

Multipliez $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.2.3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 4.5.2.2.3.1.4.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 4.5.2.2.3.1.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 4.5.2.2.3.1.4.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 4.5.2.2.3.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 4.5.2.2.3.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 4.5.2.2.3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.2.3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.5.2.2.3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.5.2.2.3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.5.2.2.3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.2.3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.5.2.2.3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3}$

Étape 4.5.2.2.3.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3}$

Étape 4.5.2.2.3.2

Additionnez $4$ et $3$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}$

Étape 4.5.2.2.3.3

Additionnez $2 \sqrt{3}$ et $2 \sqrt{3}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{1 + 7 + 4 \sqrt{3}}$

Étape 4.5.2.2.4

Additionnez $1$ et $7$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$

Étape 4.5.2.3

Multipliez $\frac{- 1 - \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$ par $\frac{8 - 4 \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}} \cdot \frac{8 - 4 \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$

Étape 4.5.2.4

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.4.1

Multipliez $\frac{- 1 - \sqrt{3}}{8 + 4 \sqrt{3}}$ par $\frac{8 - 4 \sqrt{3}}{8 - 4 \sqrt{3}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})}{(8 + 4 \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})}$

Étape 4.5.2.4.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})}{64 - 32 \sqrt{3} + 32 \sqrt{3} - 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 4.5.2.4.3

Simplifiez

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})}{16}$

Étape 4.5.2.4.4

Annulez le facteur commun à $8 - 4 \sqrt{3}$ et $16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.4.4.1

Factorisez $4$ à partir de $(- 1 - \sqrt{3}) (8 - 4 \sqrt{3})$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}))}{16}$

Étape 4.5.2.4.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.4.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}))}{4 (4)}$

Étape 4.5.2.4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{4 ((- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}))}{4 \cdot 4}$

Étape 4.5.2.4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{(- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})}{4}$

Étape 4.5.2.5

Développez $(- 1 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 (2 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2 - \sqrt{3})}{4}$

Étape 4.5.2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2 - \sqrt{3})}{4}$

Étape 4.5.2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

Étape 4.5.2.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.6.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 - 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

Étape 4.5.2.6.1.2

Multipliez $- 1 (- \sqrt{3})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.6.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + 1 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

Étape 4.5.2.6.1.2.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

Étape 4.5.2.6.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}$

Étape 4.5.2.6.1.4

Multipliez $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.6.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.5.2.6.1.4.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.5.2.6.1.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.5.2.6.1.4.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.5.2.6.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4}$

Étape 4.5.2.6.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Étape 4.5.2.6.1.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.5.2.6.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Étape 4.5.2.6.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Étape 4.5.2.6.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 4.5.2.6.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.5.2.6.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 4.5.2.6.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3}{4}$

Étape 4.5.2.6.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{- 2 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3}{4}$

Étape 4.5.2.6.2

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1 + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.5.2.6.3

Soustrayez $2 \sqrt{3}$ de $\sqrt{3}$ .

$f (- 2 - \sqrt{3}) = \frac{1 - \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.5.2.7

La réponse finale est $\frac{1 - \sqrt{3}}{4}$ .

$\frac{1 - \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.6

Le point trouvé en remplaçant $- 2 - \sqrt{3}$ dans $f (x) = \frac{1 + x}{1 + x^{2}}$ est $(- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4})$ . Ce point peut être un point d’inflexion.

$(- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4})$

Étape 4.7

Déterminez les points qui pourraient être des points d’inflexion.

$(1, 1), (- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4}), (- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4})$

Étape 5

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles autour des points qui pourraient potentiellement être des points d’inflexion.

$(- \infty, - 2 - \sqrt{3}) \cup (- 2 - \sqrt{3}, - 2 + \sqrt{3}) \cup (- 2 + \sqrt{3}, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 2 - \sqrt{3})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3.8320508$ dans l’expression.

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 ({(- 3.8320508)}^{3} + 3 {(- 3.8320508)}^{2} - 3 \cdot - 3.8320508 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 3.8320508$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 56.2721846 + 3 {(- 3.8320508)}^{2} - 3 \cdot - 3.8320508 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 6.2.1.2

Élevez $- 3.8320508$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 56.2721846 + 3 \cdot 14.68461339 - 3 \cdot - 3.8320508 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $3$ par $14.68461339$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 56.2721846 + 44.05384017 - 3 \cdot - 3.8320508 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 6.2.1.4

Multipliez $- 3$ par $- 3.8320508$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 56.2721846 + 44.05384017 + 11.49615242 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 6.2.1.5

Additionnez $- 56.2721846$ et $44.05384017$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 12.21834443 + 11.49615242 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 6.2.1.6

Additionnez $- 12.21834443$ et $11.49615242$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 (- 0.722192 - 1)}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 6.2.1.7

Soustrayez $1$ de $- 0.722192$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 \cdot - 1.722192}{{({(- 3.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

Élevez $- 3.8320508$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 \cdot - 1.722192}{{(14.68461339 + 1)}^{3}}$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $14.68461339$ et $1$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 \cdot - 1.722192}{{15.68461339}^{3}}$

Étape 6.2.2.3

Élevez $15.68461339$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{2 \cdot - 1.722192}{3858.526212}$

Étape 6.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.3.1

Multipliez $2$ par $- 1.722192$ .

$f'' (- 3.8320508) = \frac{- 3.44438401}{3858.526212}$

Étape 6.2.3.2

Divisez $- 3.44438401$ par $3858.526212$ .

$f'' (- 3.8320508) = - 0.00089266$

Étape 6.2.4

La réponse finale est $- 0.00089266$ .

$- 0.00089266$

Étape 6.3

Sur $- 3.8320508$ , la dérivée seconde est $- 0.00089266$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- \infty, - 2 - \sqrt{3})$

Diminue sur $(- \infty, - 2 - \sqrt{3})$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 2 - \sqrt{3}, - 2 + \sqrt{3})$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f'' (- 2) = \frac{2 ({(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} - 3 \cdot - 2 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 8 + 3 {(- 2)}^{2} - 3 \cdot - 2 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 7.2.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 8 + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 2 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 8 + 12 - 3 \cdot - 2 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (- 8 + 12 + 6 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 7.2.1.5

Additionnez $- 8$ et $12$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (4 + 6 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 7.2.1.6

Additionnez $4$ et $6$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (10 - 1)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 7.2.1.7

Soustrayez $1$ de $10$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 9}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 9}{{(4 + 1)}^{3}}$

Étape 7.2.2.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 9}{5^{3}}$

Étape 7.2.2.3

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 9}{125}$

Étape 7.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.2.3.1

Multipliez $2$ par $9$ .

$f'' (- 2) = \frac{18}{125}$

Étape 7.2.3.2

Divisez $18$ par $125$ .

$f'' (- 2) = 0.144$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $0.144$ .

$0.144$

Étape 7.3

Sur $- 2$ , la dérivée seconde est $0.144$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(- 2 - \sqrt{3}, - 2 + \sqrt{3})$ .

Augmente sur $(- 2 - \sqrt{3}, - 2 + \sqrt{3})$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 2 + \sqrt{3}, 1)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $0.3660254$ dans l’expression.

$f'' (0.3660254) = \frac{2 ({(0.3660254)}^{3} + 3 {(0.3660254)}^{2} - 3 \cdot 0.3660254 - 1)}{{({(0.3660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.1.1

Élevez $0.3660254$ à la puissance $3$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.0490381 + 3 \cdot {0.3660254}^{2} - 3 \cdot 0.3660254 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 8.2.1.2

Élevez $0.3660254$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.0490381 + 3 \cdot 0.13397459 - 3 \cdot 0.3660254 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 8.2.1.3

Multipliez $3$ par $0.13397459$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.0490381 + 0.40192378 - 3 \cdot 0.3660254 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 8.2.1.4

Multipliez $- 3$ par $0.3660254$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.0490381 + 0.40192378 - 1.09807621 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 8.2.1.5

Additionnez $0.0490381$ et $0.40192378$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (0.45096189 - 1.09807621 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 8.2.1.6

Soustrayez $1.09807621$ de $0.45096189$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 (- 0.64711431 - 1)}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 8.2.1.7

Soustrayez $1$ de $- 0.64711431$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 \cdot - 1.64711431}{{({0.3660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.2.1

Élevez $0.3660254$ à la puissance $2$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 \cdot - 1.64711431}{{(0.13397459 + 1)}^{3}}$

Étape 8.2.2.2

Additionnez $0.13397459$ et $1$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 \cdot - 1.64711431}{{1.13397459}^{3}}$

Étape 8.2.2.3

Élevez $1.13397459$ à la puissance $3$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{2 \cdot - 1.64711431}{1.4581761}$

Étape 8.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.2.3.1

Multipliez $2$ par $- 1.64711431$ .

$f'' (0.3660254) = \frac{- 3.29422863}{1.4581761}$

Étape 8.2.3.2

Divisez $- 3.29422863$ par $1.4581761$ .

$f'' (0.3660254) = - 2.2591432$

Étape 8.2.4

La réponse finale est $- 2.2591432$ .

$- 2.2591432$

Étape 8.3

Sur $0.3660254$ , la dérivée seconde est $- 2.2591432$ . Comme elle est négative, la dérivée seconde est décroissante sur l’intervalle $(- 2 + \sqrt{3}, 1)$

Diminue sur $(- 2 + \sqrt{3}, 1)$ depuis $f'' (x) < 0$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée seconde afin de déterminer si elle est croissante ou décroissante.

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Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $1.1$ dans l’expression.

$f'' (1.1) = \frac{2 ({(1.1)}^{3} + 3 {(1.1)}^{2} - 3 \cdot 1.1 - 1)}{{({(1.1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.1.1

Élevez $1.1$ à la puissance $3$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.331 + 3 \cdot {1.1}^{2} - 3 \cdot 1.1 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 9.2.1.2

Élevez $1.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.331 + 3 \cdot 1.21 - 3 \cdot 1.1 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 9.2.1.3

Multipliez $3$ par $1.21$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.331 + 3.63 - 3 \cdot 1.1 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 9.2.1.4

Multipliez $- 3$ par $1.1$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.331 + 3.63 - 3.3 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 9.2.1.5

Additionnez $1.331$ et $3.63$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 (4.961 - 3.3 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 9.2.1.6

Soustrayez $3.3$ de $4.961$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 (1.661 - 1)}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 9.2.1.7

Soustrayez $1$ de $1.661$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 \cdot 0.661}{{({1.1}^{2} + 1)}^{3}}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.2.1

Élevez $1.1$ à la puissance $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 \cdot 0.661}{{(1.21 + 1)}^{3}}$

Étape 9.2.2.2

Additionnez $1.21$ et $1$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 \cdot 0.661}{{2.21}^{3}}$

Étape 9.2.2.3

Élevez $2.21$ à la puissance $3$ .

$f'' (1.1) = \frac{2 \cdot 0.661}{10.793861}$

Étape 9.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.2.3.1

Multipliez $2$ par $0.661$ .

$f'' (1.1) = \frac{1.322}{10.793861}$

Étape 9.2.3.2

Divisez $1.322$ par $10.793861$ .

$f'' (1.1) = 0.12247702$

Étape 9.2.4

La réponse finale est $0.12247702$ .

$0.12247702$

Étape 9.3

Sur $1.1$ , la dérivée seconde est $0.12247702$ . Comme elle est positive, la dérivée seconde augmente sur l’intervalle $(1, \infty)$ .

Augmente sur $(1, \infty)$ depuis $f'' (x) > 0$

Étape 10

Un point d’inflexion est un point sur une courbe sur lequel la concavité passe du signe plus au signe moins ou du signe moins au signe plus. Dans ce cas, les points d’inflexion sont $(- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4}), (- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4}), (1, 1)$ .

$(- 2 - \sqrt{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{4}), (- 2 + \sqrt{3}, \frac{1 + \sqrt{3}}{4}), (1, 1)$

Étape 11