Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{9 x^{8}}{8 y^{7}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 9 x^{8}$ et $g (x) = 8 y^{7}$ .

$\frac{8 y^{7} \frac{d}{d x} [9 x^{8}] - 1 \cdot 9 x^{8} \frac{d}{d x} [8 y^{7}]}{{(8 y^{7})}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{8}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$\frac{8 y^{7} (9 \frac{d}{d x} [x^{8}]) - 1 \cdot 9 x^{8} \frac{d}{d x} [8 y^{7}]}{{(8 y^{7})}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$\frac{8 y^{7} (9 (8 x^{7})) - 1 \cdot 9 x^{8} \frac{d}{d x} [8 y^{7}]}{{(8 y^{7})}^{2}}$

Étape 2.3

Multipliez $8$ par $9$ .

$\frac{8 y^{7} (72 x^{7}) - 1 \cdot 9 x^{8} \frac{d}{d x} [8 y^{7}]}{{(8 y^{7})}^{2}}$

Étape 2.4

Comme $8 y^{7}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 y^{7}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{8 y^{7} (72 x^{7}) - 1 \cdot 9 x^{8} \cdot 0}{{(8 y^{7})}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la règle de produit à $8 y^{7}$ .

$\frac{8 y^{7} (72 x^{7}) - 1 \cdot 9 x^{8} \cdot 0}{8^{2} {(y^{7})}^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{8 \cdot 72 y^{7} x^{7} - 1 \cdot 9 x^{8} \cdot 0}{8^{2} {(y^{7})}^{2}}$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $8$ par $72$ .

$\frac{576 y^{7} x^{7} - 1 \cdot 9 x^{8} \cdot 0}{8^{2} {(y^{7})}^{2}}$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{576 y^{7} x^{7} - 9 x^{8} \cdot 0}{8^{2} {(y^{7})}^{2}}$

Étape 3.2.1.4

Multipliez $- 9 x^{8} \cdot 0$ .

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Étape 3.2.1.4.1

Multipliez $0$ par $- 9$ .

$\frac{576 y^{7} x^{7} + 0 x^{8}}{8^{2} {(y^{7})}^{2}}$

Étape 3.2.1.4.2

Multipliez $0$ par $x^{8}$ .

$\frac{576 y^{7} x^{7} + 0}{8^{2} {(y^{7})}^{2}}$

Étape 3.2.2

Additionnez $576 y^{7} x^{7}$ et $0$ .

$\frac{576 y^{7} x^{7}}{8^{2} {(y^{7})}^{2}}$

Étape 3.3

Associez des termes.

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Étape 3.3.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{576 y^{7} x^{7}}{64 {(y^{7})}^{2}}$

Étape 3.3.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{7})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{576 y^{7} x^{7}}{64 y^{7 \cdot 2}}$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $7$ par $2$ .

$\frac{576 y^{7} x^{7}}{64 y^{14}}$

Étape 3.3.3

Annulez le facteur commun à $576$ et $64$ .

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Étape 3.3.3.1

Factorisez $64$ à partir de $576 y^{7} x^{7}$ .

$\frac{64 (9 y^{7} x^{7})}{64 y^{14}}$

Étape 3.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.3.2.1

Factorisez $64$ à partir de $64 y^{14}$ .

$\frac{64 (9 y^{7} x^{7})}{64 (y^{14})}$

Étape 3.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{64 (9 y^{7} x^{7})}{64 y^{14}}$

Étape 3.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9 y^{7} x^{7}}{y^{14}}$

Étape 3.3.4

Annulez le facteur commun à $y^{7}$ et $y^{14}$ .

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Étape 3.3.4.1

Factorisez $y^{7}$ à partir de $9 y^{7} x^{7}$ .

$\frac{y^{7} (9 x^{7})}{y^{14}}$

Étape 3.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.4.2.1

Factorisez $y^{7}$ à partir de $y^{14}$ .

$\frac{y^{7} (9 x^{7})}{y^{7} y^{7}}$

Étape 3.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{7} (9 x^{7})}{y^{7} y^{7}}$

Étape 3.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9 x^{7}}{y^{7}}$