Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}}$ ; $x = 16$

Étape 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 16$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $16$ .

$y = 3 {(16)}^{\frac{1}{2}} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 3 \cdot 16^{\frac{1}{2}} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 3 \cdot 16^{\frac{1}{2}} + 16^{\frac{3}{2}}$

Étape 1.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = 3 {(16)}^{\frac{1}{2}} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 1.2.4

Simplifiez $3 {(16)}^{\frac{1}{2}} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 1.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.1.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = 3 {(4^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 1.2.4.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 1.2.4.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.4.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y = 3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 1.2.4.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y = 3 \cdot 4^{1} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 1.2.4.1.4

Évaluez l’exposant.

$y = 3 \cdot 4 + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 1.2.4.1.5

Multipliez $3$ par $4$ .

$y = 12 + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 1.2.4.1.6

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$y = 12 + {(4^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Étape 1.2.4.1.7

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 12 + 4^{2 (\frac{3}{2})}$

Étape 1.2.4.1.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.4.1.8.1

Annulez le facteur commun.

$y = 12 + 4^{2 (\frac{3}{2})}$

Étape 1.2.4.1.8.2

Réécrivez l’expression.

$y = 12 + 4^{3}$

Étape 1.2.4.1.9

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$y = 12 + 64$

Étape 1.2.4.2

Additionnez $12$ et $64$ .

$y = 76$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 16$ et $y = 76$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 2.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 2.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 2.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 2.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 2.2.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 2.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 2.2.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 2.2.9

Associez $3$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 2.2.10

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

Étape 2.3.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 2.3.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 2.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 2.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

Étape 2.3.5.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.4.2

Associez $\frac{3}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.5

Évaluez la dérivée sur $x = 16$ .

$\frac{3 {(16)}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1.1.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{3 \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.6.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.6.1.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.6.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.6.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \cdot 4^{1}}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.6.1.1.4

Évaluez l’exposant.

$\frac{3 \cdot 4}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{12}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.6.1.3

Divisez $12$ par $2$ .

$6 + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.6.1.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.6.1.4.1

Réécrivez $16$ comme $2^{4}$ .

$6 + \frac{3}{2 \cdot {(2^{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.6.1.4.2

Multipliez les exposants dans ${(2^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.6.1.4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 + \frac{3}{2 \cdot 2^{4 (\frac{1}{2})}}$

Étape 2.6.1.4.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.6.1.4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$6 + \frac{3}{2 \cdot 2^{2 (2) \frac{1}{2}}}$

Étape 2.6.1.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$6 + \frac{3}{2 \cdot 2^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}}}$

Étape 2.6.1.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$6 + \frac{3}{2 \cdot 2^{2}}$

Étape 2.6.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 + \frac{3}{2^{1 + 2}}$

Étape 2.6.1.4.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$6 + \frac{3}{2^{3}}$

Étape 2.6.1.5

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$6 + \frac{3}{8}$

Étape 2.6.2

Pour écrire $6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$6 \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{8}$

Étape 2.6.3

Associez $6$ et $\frac{8}{8}$ .

$\frac{6 \cdot 8}{8} + \frac{3}{8}$

Étape 2.6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{6 \cdot 8 + 3}{8}$

Étape 2.6.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.5.1

Multipliez $6$ par $8$ .

$\frac{48 + 3}{8}$

Étape 2.6.5.2

Additionnez $48$ et $3$ .

$\frac{51}{8}$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $\frac{51}{8}$ et un point donné, tel que $(16, 76)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (76) = \frac{51}{8} \cdot (x - (16))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 76 = \frac{51}{8} \cdot (x - 16)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $\frac{51}{8} \cdot (x - 16)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - 76 = 0 + 0 + \frac{51}{8} \cdot (x - 16)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 76 = \frac{51}{8} \cdot (x - 16)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 76 = \frac{51}{8} x + \frac{51}{8} \cdot - 16$

Étape 3.3.1.4

Associez $\frac{51}{8}$ et $x$ .

$y - 76 = \frac{51 x}{8} + \frac{51}{8} \cdot - 16$

Étape 3.3.1.5

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 3.3.1.5.1

Factorisez $8$ à partir de $- 16$ .

$y - 76 = \frac{51 x}{8} + \frac{51}{8} \cdot (8 (- 2))$

Étape 3.3.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$y - 76 = \frac{51 x}{8} + \frac{51}{8} \cdot (8 \cdot - 2)$

Étape 3.3.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$y - 76 = \frac{51 x}{8} + 51 \cdot - 2$

Étape 3.3.1.6

Multipliez $51$ par $- 2$ .

$y - 76 = \frac{51 x}{8} - 102$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $76$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{51 x}{8} - 102 + 76$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $- 102$ et $76$ .

$y = \frac{51 x}{8} - 26$

Étape 3.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{51}{8} x - 26$

Étape 4