Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{2}{\sqrt{x}}$ , $x = 4$

Étape 1

Écrivez $\frac{2}{\sqrt{x}}$ comme une équation.

$y = \frac{2}{\sqrt{x}}$

Étape 2

Find the corresponding $y$ -value to $x = 4$ .

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Étape 2.1

Remplacez $x$ dans par $4$ .

$y = \frac{2}{\sqrt{4}}$

Étape 2.2

Simplifiez $\frac{2}{\sqrt{4}}$ .

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{2}{\sqrt{4}}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 2.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = \frac{2}{2}$

Étape 2.2.3

Divisez $2$ par $2$ .

$y = 1$

Étape 3

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 4$ et $y = 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 3.3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.3.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Étape 3.3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 3.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Étape 3.3.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

Étape 3.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Étape 3.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 3.6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 3.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Étape 3.8.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$2 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Étape 3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Étape 3.10

Associez $x^{- \frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Étape 3.11

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Étape 3.12

Associez $- 2$ et $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 2 x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Étape 3.13

Placez $x^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.14

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.15

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.15.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{3}{2}})}$

Étape 3.15.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.15.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.16

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.17

Évaluez la dérivée sur $x = 4$ .

$- \frac{1}{{(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.18

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.18.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- \frac{1}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3.18.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 3.18.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.18.3.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 3.18.3.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2^{3}}$

Étape 3.18.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- \frac{1}{8}$

Étape 4

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Utilisez la pente $- \frac{1}{8}$ et un point donné, tel que $(4, 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{1}{8} \cdot (x - (4))$

Étape 4.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 1 = - \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

Étape 4.3

Résolvez $y$ .

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Étape 4.3.1

Simplifiez $- \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$ .

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Étape 4.3.1.1

Réécrivez.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

Étape 4.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 1 = - \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

Étape 4.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 1 = - \frac{1}{8} x - \frac{1}{8} \cdot - 4$

Étape 4.3.1.4

Associez $x$ et $\frac{1}{8}$ .

$y - 1 = - \frac{x}{8} - \frac{1}{8} \cdot - 4$

Étape 4.3.1.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.3.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{8}$ dans le numérateur.

$y - 1 = - \frac{x}{8} + \frac{- 1}{8} \cdot - 4$

Étape 4.3.1.5.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$y - 1 = - \frac{x}{8} + \frac{- 1}{4 (2)} \cdot - 4$

Étape 4.3.1.5.3

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$y - 1 = - \frac{x}{8} + \frac{- 1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1)$

Étape 4.3.1.5.4

Annulez le facteur commun.

$y - 1 = - \frac{x}{8} + \frac{- 1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1)$

Étape 4.3.1.5.5

Réécrivez l’expression.

$y - 1 = - \frac{x}{8} + \frac{- 1}{2} \cdot - 1$

Étape 4.3.1.6

Associez $\frac{- 1}{2}$ et $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{8} + \frac{- - 1}{2}$

Étape 4.3.1.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{8} + \frac{1}{2}$

Étape 4.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{x}{8} + \frac{1}{2} + 1$

Étape 4.3.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y = - \frac{x}{8} + \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Étape 4.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{x}{8} + \frac{1 + 2}{2}$

Étape 4.3.2.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = - \frac{x}{8} + \frac{3}{2}$

Étape 4.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 4.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{1}{8} x) + \frac{3}{2}$

Étape 4.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{1}{8} x + \frac{3}{2}$

Étape 5