Calcul infinitésimal Exemples

$\log_{5} (1 + x^{2})$

Étape 1

Écrivez $\log_{5} (1 + x^{2})$ comme une fonction.

$f (x) = \log_{5} (1 + x^{2})$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \log_{5} (x)$ et $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Étape 2.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{5} (u)] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Étape 2.1.1.2

La dérivée de $\log_{5} (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u \ln (5)} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Étape 2.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.1.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)} (2 x)$

Étape 2.1.2.5

Associez les fractions.

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Étape 2.1.2.5.1

Associez $2$ et $\frac{1}{(1 + x^{2}) \ln (5)}$ .

$\frac{2}{(1 + x^{2}) \ln (5)} x$

Étape 2.1.2.5.2

Associez $\frac{2}{(1 + x^{2}) \ln (5)}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{(1 + x^{2}) \ln (5)}$

Étape 2.1.3

Simplifiez

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Étape 2.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x}{1 \ln (5) + x^{2} \ln (5)}$

Étape 2.1.3.2

Multipliez $\ln (5)$ par $1$ .

$\frac{2 x}{\ln (5) + x^{2} \ln (5)}$

Étape 2.1.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}$ .

$\frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 x = 0$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $0$ .

$0$

Étape 5

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} \ln (5) + \ln (5)}$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = \log_{5} (1 + x^{2})$ augmente et diminue est $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = \frac{2 (- 1)}{{(- 1)}^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{{(- 1)}^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{1 \ln (5) + \ln (5)}$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $\ln (5)$ par $1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{\ln (5) + \ln (5)}$

Étape 6.2.2.3

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{\ln (5 \cdot 5)}$

Étape 6.2.2.4

Multipliez $5$ par $5$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{\ln (25)}$

Étape 6.2.3

Réécrivez $\ln (25)$ comme $\ln (5^{2})$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{\ln (5^{2})}$

Étape 6.2.4

Développez $\ln (5^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$f' (- 1) = \frac{- 2}{2 \ln (5)}$

Étape 6.2.5

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 6.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \ln (5)}$

Étape 6.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \ln (5)$ .

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\ln (5))}$

Étape 6.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (- 1) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \ln (5)}$

Étape 6.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (- 1) = \frac{- 1}{\ln (5)}$

Étape 6.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 1) = - \frac{1}{\ln (5)}$

Étape 6.2.7

La réponse finale est $- \frac{1}{\ln (5)}$ .

$- \frac{1}{\ln (5)}$

Étape 6.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $- \frac{1}{\ln (5)}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, 0)$ .

Diminue sur $(- \infty, 0)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = \frac{2 (1)}{{(1)}^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$f' (1) = \frac{2}{1^{2} \ln (5) + \ln (5)}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = \frac{2}{1 \ln (5) + \ln (5)}$

Étape 7.2.2.2

Multipliez $\ln (5)$ par $1$ .

$f' (1) = \frac{2}{\ln (5) + \ln (5)}$

Étape 7.2.2.3

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f' (1) = \frac{2}{\ln (5 \cdot 5)}$

Étape 7.2.2.4

Multipliez $5$ par $5$ .

$f' (1) = \frac{2}{\ln (25)}$

Étape 7.2.3

Réécrivez $\ln (25)$ comme $\ln (5^{2})$ .

$f' (1) = \frac{2}{\ln (5^{2})}$

Étape 7.2.4

Développez $\ln (5^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$f' (1) = \frac{2}{2 \ln (5)}$

Étape 7.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f' (1) = \frac{2}{2 \ln (5)}$

Étape 7.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$f' (1) = \frac{1}{\ln (5)}$

Étape 7.2.6

La réponse finale est $\frac{1}{\ln (5)}$ .

$\frac{1}{\ln (5)}$

Étape 7.3

Sur $x = 1$ la dérivée est $\frac{1}{\ln (5)}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(0, \infty)$ .

Augmente sur $(0, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(0, \infty)$

Diminue sur : $(- \infty, 0)$

Étape 9