Calcul infinitésimal Exemples

$9 \cos^{4} (x)$

Étape 1

Écrivez $9 \cos^{4} (x)$ comme une fonction.

$f (x) = 9 \cos^{4} (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 \cos^{4} (x)$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ .

$f' (x) = 9 \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 2.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$f' (x) = 9 (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = 9 (4 u^{3} \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Étape 2.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$f' (x) = 9 (4 \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Étape 2.1.3

Multipliez $4$ par $9$ .

$f' (x) = 36 (\cos^{3} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Étape 2.1.4

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f' (x) = 36 \cos^{3} (x) (- \sin (x))$

Étape 2.1.5

Multipliez $- 1$ par $36$ .

$f' (x) = - 36 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 36 \cos^{3} (x) \sin (x)$ .

$- 36 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 36 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 36 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$

Étape 3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos^{3} (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

Étape 3.3

Définissez $\cos^{3} (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Définissez $\cos^{3} (x)$ égal à $0$ .

$\cos^{3} (x) = 0$

Étape 3.3.2

Résolvez $\cos^{3} (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \sqrt[3]{0}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$\cos (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 3.3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$\cos (x) = 0$

Étape 3.3.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 3.3.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.4.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 3.3.2.5

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 3.3.2.6

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 3.3.2.6.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.3.2.6.2

Associez les fractions.

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Étape 3.3.2.6.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 3.3.2.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 3.3.2.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.2.6.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 3.3.2.6.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 3.3.2.7

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 3.3.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.3.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.3.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.3.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.3.2.8

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.4

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $\sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.4.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 3.4.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 3.4.2.4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 3.4.2.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 3.4.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.4.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.4.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.4.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.4.2.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 36 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.6

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $\frac{π n}{2}$ .

$\frac{π n}{2}$

Étape 5

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = - 36 \cos^{3} (x) \sin (x)$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = 9 \cos^{4} (x)$ augmente et diminue est $(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, \frac{π n}{2})$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π n}{2} - 1$ dans l’expression.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = - 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

Étape 6.2

La réponse finale est $- 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$ .

$- 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

Étape 6.3

Simplifiez

$- 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

Étape 6.4

Sur $x = \frac{π n}{2} - 1$ la dérivée est $- 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, \frac{π n}{2})$ .

Diminue sur $(- \infty, \frac{π n}{2})$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(\frac{π n}{2}, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π n}{2} + 1$ dans l’expression.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = - 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

Étape 7.2

La réponse finale est $- 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$ .

$- 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

Étape 7.3

Simplifiez

$- 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

Étape 7.4

Sur $x = \frac{π n}{2} + 1$ la dérivée est $- 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(\frac{π n}{2}, \infty)$ .

Diminue sur $(\frac{π n}{2}, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Diminue sur : $(- \infty, \frac{π n}{2}), (\frac{π n}{2}, \infty)$

Étape 9