Calcul infinitésimal Exemples

$2.32 x - \frac{x^{2}}{24000} - 3500$

Étape 1

Écrivez $2.32 x - \frac{x^{2}}{24000} - 3500$ comme une fonction.

$f (x) = 2.32 x - \frac{x^{2}}{24000} - 3500$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2.32 x - \frac{x^{2}}{24000} - 3500$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2.32 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{24000}] + \frac{d}{d x} [- 3500]$ .

$\frac{d}{d x} [2.32 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{24000}] + \frac{d}{d x} [- 3500]$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2.32 x]$ .

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Étape 2.1.2.1

Comme $2.32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2.32 x$ par rapport à $x$ est $2.32 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2.32 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{24000}] + \frac{d}{d x} [- 3500]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2.32 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{24000}] + \frac{d}{d x} [- 3500]$

Étape 2.1.2.3

Multipliez $2.32$ par $1$ .

$2.32 + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{24000}] + \frac{d}{d x} [- 3500]$

Étape 2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{24000}]$ .

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Étape 2.1.3.1

Comme $- \frac{1}{24000}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x^{2}}{24000}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{24000} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2.32 - \frac{1}{24000} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3500]$

Étape 2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2.32 - \frac{1}{24000} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3500]$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2.32 - 2 (\frac{1}{24000}) x + \frac{d}{d x} [- 3500]$

Étape 2.1.3.4

Associez $- 2$ et $\frac{1}{24000}$ .

$2.32 + \frac{- 2}{24000} x + \frac{d}{d x} [- 3500]$

Étape 2.1.3.5

Associez $\frac{- 2}{24000}$ et $x$ .

$2.32 + \frac{- 2 x}{24000} + \frac{d}{d x} [- 3500]$

Étape 2.1.3.6

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $24000$ .

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Étape 2.1.3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$2.32 + \frac{2 (- x)}{24000} + \frac{d}{d x} [- 3500]$

Étape 2.1.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.3.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $24000$ .

$2.32 + \frac{2 (- x)}{2 (12000)} + \frac{d}{d x} [- 3500]$

Étape 2.1.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$2.32 + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 12000} + \frac{d}{d x} [- 3500]$

Étape 2.1.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$2.32 + \frac{- x}{12000} + \frac{d}{d x} [- 3500]$

Étape 2.1.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$2.32 - \frac{x}{12000} + \frac{d}{d x} [- 3500]$

Étape 2.1.4

Comme $- 3500$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3500$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2.32 - \frac{x}{12000} + 0$

Étape 2.1.5

Simplifiez

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Étape 2.1.5.1

Additionnez $2.32 - \frac{x}{12000}$ et $0$ .

$2.32 - \frac{x}{12000}$

Étape 2.1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - \frac{x}{12000} + 2.32$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{x}{12000} + 2.32$ .

$- \frac{x}{12000} + 2.32$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{x}{12000} + 2.32 = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{x}{12000} + 2.32 = 0$

Étape 3.2

Soustrayez $2.32$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{x}{12000} = - 2.32$

Étape 3.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 12000$ .

$- 12000 (- \frac{x}{12000}) = - 12000 \cdot - 2.32$

Étape 3.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.1.1

Simplifiez $- 12000 (- \frac{x}{12000})$ .

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Étape 3.4.1.1.1

Annulez le facteur commun de $12000$ .

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Étape 3.4.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x}{12000}$ dans le numérateur.

$- 12000 \frac{- x}{12000} = - 12000 \cdot - 2.32$

Étape 3.4.1.1.1.2

Factorisez $12000$ à partir de $- 12000$ .

$12000 (- 1) \frac{- x}{12000} = - 12000 \cdot - 2.32$

Étape 3.4.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$12000 \cdot - 1 \frac{- x}{12000} = - 12000 \cdot - 2.32$

Étape 3.4.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- - x = - 12000 \cdot - 2.32$

Étape 3.4.1.1.2

Multipliez.

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Étape 3.4.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 x = - 12000 \cdot - 2.32$

Étape 3.4.1.1.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = - 12000 \cdot - 2.32$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.1

Multipliez $- 12000$ par $- 2.32$ .

$x = 27840$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $27840$ .

$27840$

Étape 5

Après avoir trouvé le point qui rend la dérivée $f' (x) = - \frac{x}{12000} + 2.32$ égale à $0$ ou indéfinie, l’intervalle pour vérifier où $f (x) = 2.32 x - \frac{x^{2}}{24000} - 3500$ augmente et diminue est $(- \infty, 27840) \cup (27840, \infty)$ .

$(- \infty, 27840) \cup (27840, \infty)$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, 27840)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $27839$ dans l’expression.

$f' (27839) = - \frac{27839}{12000} + 2.32$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun à $27839$ et $12000$ .

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Étape 6.2.1.1

Réécrivez $27839$ comme $1 (27839)$ .

$f' (27839) = - \frac{1 (27839)}{12000} + 2.32$

Étape 6.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.1.2.1

Réécrivez $12000$ comme $1 (12000)$ .

$f' (27839) = - \frac{1 \cdot 27839}{1 \cdot 12000} + 2.32$

Étape 6.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (27839) = - \frac{1 \cdot 27839}{1 \cdot 12000} + 2.32$

Étape 6.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (27839) = - \frac{27839}{12000} + 2.32$

Étape 6.2.2

Pour écrire $2.32$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{12000}{12000}$ .

$f' (27839) = - \frac{27839}{12000} + 2.32 \cdot \frac{12000}{12000}$

Étape 6.2.3

Associez $2.32$ et $\frac{12000}{12000}$ .

$f' (27839) = - \frac{27839}{12000} + \frac{2.32 \cdot 12000}{12000}$

Étape 6.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (27839) = \frac{- 27839 + 2.32 \cdot 12000}{12000}$

Étape 6.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.5.1

Multipliez $2.32$ par $12000$ .

$f' (27839) = \frac{- 27839 + 27840}{12000}$

Étape 6.2.5.2

Additionnez $- 27839$ et $27840$ .

$f' (27839) = \frac{1}{12000}$

Étape 6.2.6

Annulez le facteur commun à $1$ et $12000$ .

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Étape 6.2.6.1

Réécrivez $1$ comme $1 (1)$ .

$f' (27839) = \frac{1 (1)}{12000}$

Étape 6.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.6.2.1

Réécrivez $12000$ comme $1 (12000)$ .

$f' (27839) = \frac{1 \cdot 1}{1 \cdot 12000}$

Étape 6.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (27839) = \frac{1 \cdot 1}{1 \cdot 12000}$

Étape 6.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (27839) = \frac{1}{12000}$

Étape 6.2.7

La réponse finale est $\frac{1}{12000}$ .

$\frac{1}{12000}$

Étape 6.3

Sur $x = 27839$ la dérivée est $\frac{1}{12000}$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, 27840)$ .

Augmente sur $(- \infty, 27840)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(27840, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $27841$ dans l’expression.

$f' (27841) = - \frac{27841}{12000} + 2.32$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun à $27841$ et $12000$ .

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Étape 7.2.1.1

Réécrivez $27841$ comme $1 (27841)$ .

$f' (27841) = - \frac{1 (27841)}{12000} + 2.32$

Étape 7.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.1.2.1

Réécrivez $12000$ comme $1 (12000)$ .

$f' (27841) = - \frac{1 \cdot 27841}{1 \cdot 12000} + 2.32$

Étape 7.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (27841) = - \frac{1 \cdot 27841}{1 \cdot 12000} + 2.32$

Étape 7.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (27841) = - \frac{27841}{12000} + 2.32$

Étape 7.2.2

Pour écrire $2.32$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{12000}{12000}$ .

$f' (27841) = - \frac{27841}{12000} + 2.32 \cdot \frac{12000}{12000}$

Étape 7.2.3

Associez $2.32$ et $\frac{12000}{12000}$ .

$f' (27841) = - \frac{27841}{12000} + \frac{2.32 \cdot 12000}{12000}$

Étape 7.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (27841) = \frac{- 27841 + 2.32 \cdot 12000}{12000}$

Étape 7.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.5.1

Multipliez $2.32$ par $12000$ .

$f' (27841) = \frac{- 27841 + 27840}{12000}$

Étape 7.2.5.2

Additionnez $- 27841$ et $27840$ .

$f' (27841) = \frac{- 1}{12000}$

Étape 7.2.6

Annulez le facteur commun à $- 1$ et $12000$ .

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Étape 7.2.6.1

Réécrivez $- 1$ comme $1 (- 1)$ .

$f' (27841) = \frac{1 (- 1)}{12000}$

Étape 7.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.6.2.1

Réécrivez $12000$ comme $1 (12000)$ .

$f' (27841) = \frac{1 \cdot - 1}{1 \cdot 12000}$

Étape 7.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (27841) = \frac{1 \cdot - 1}{1 \cdot 12000}$

Étape 7.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (27841) = \frac{- 1}{12000}$

Étape 7.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (27841) = - \frac{1}{12000}$

Étape 7.2.8

La réponse finale est $- \frac{1}{12000}$ .

$- \frac{1}{12000}$

Étape 7.3

Sur $x = 27841$ la dérivée est $- \frac{1}{12000}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(27840, \infty)$ .

Diminue sur $(27840, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, 27840)$

Diminue sur : $(27840, \infty)$

Étape 9