Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{- x^{2} - 16}{x}$

Étape 1

Écrivez $\frac{- x^{2} - 16}{x}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{- x^{2} - 16}{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = - x^{2} - 16$ et $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [- x^{2} - 16] - (- x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{2} - 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (- x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.1.2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]) - (- x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x (- (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16]) - (- x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.1.2.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x (- 2 x + \frac{d}{d x} [- 16]) - (- x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.1.2.5

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x (- 2 x + 0) - (- x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.1.2.6

Additionnez $- 2 x$ et $0$ .

$\frac{x (- 2 x) - (- x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x) - (- x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1}) - (- x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 2 x^{1 + 1} - (- x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 2 x^{2} - (- x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 2.1.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{- 2 x^{2} - (- x^{2} - 16) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 2.1.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 2 x^{2} - (- x^{2} - 16)}{x^{2}}$

Étape 2.1.9

Simplifiez

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Étape 2.1.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 x^{2} - - x^{2} - - 16}{x^{2}}$

Étape 2.1.9.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.9.2.1.1

Multipliez $- - x^{2}$ .

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Étape 2.1.9.2.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 1 x^{2} - - 16}{x^{2}}$

Étape 2.1.9.2.1.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{- 2 x^{2} + x^{2} - - 16}{x^{2}}$

Étape 2.1.9.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 16$ .

$\frac{- 2 x^{2} + x^{2} + 16}{x^{2}}$

Étape 2.1.9.2.2

Additionnez $- 2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 16}{x^{2}}$

Étape 2.1.9.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.9.3.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 4^{2}}{x^{2}}$

Étape 2.1.9.3.2

Remettez dans l’ordre $- x^{2}$ et $4^{2}$ .

$\frac{4^{2} - x^{2}}{x^{2}}$

Étape 2.1.9.3.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 4$ et $b = x$ .

$f' (x) = \frac{(4 + x) (4 - x)}{x^{2}}$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{(4 + x) (4 - x)}{x^{2}}$ .

$\frac{(4 + x) (4 - x)}{x^{2}}$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{(4 + x) (4 - x)}{x^{2}} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{(4 + x) (4 - x)}{x^{2}} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$(4 + x) (4 - x) = 0$

Étape 3.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 3.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 + x = 0$

$4 - x = 0$

Étape 3.3.2

Définissez $4 + x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.2.1

Définissez $4 + x$ égal à $0$ .

$4 + x = 0$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 3.3.3

Définissez $4 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.3.1

Définissez $4 - x$ égal à $0$ .

$4 - x = 0$

Étape 3.3.3.2

Résolvez $4 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.3.3.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 4$

Étape 3.3.3.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 4$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.3.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 4$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 3.3.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.3.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 3.3.3.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 3.3.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.2.2.3.1

Divisez $- 4$ par $- 1$ .

$x = 4$

Étape 3.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(4 + x) (4 - x) = 0$ vraie.

$x = - 4, 4$

Étape 4

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $- 4, 4$ .

$- 4, 4$

Étape 5

Déterminez où la dérivée est indéfinie.

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Étape 5.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{(4 + x) (4 - x)}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 5.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 5.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 5.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 5.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 5.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 6

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 4)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 5$ dans l’expression.

$f' (- 5) = \frac{(4 - 5) (4 - (- 5))}{{(- 5)}^{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f' (- 5) = \frac{(4 - 5) (4 - (- 5))}{{(- 5)}^{2}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.2.1

Soustrayez $5$ de $4$ .

$f' (- 5) = \frac{- 1 (4 - (- 5))}{{(- 5)}^{2}}$

Étape 7.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$f' (- 5) = \frac{- 1 (4 + 5)}{{(- 5)}^{2}}$

Étape 7.2.2.3

Additionnez $4$ et $5$ .

$f' (- 5) = \frac{- 1 \cdot 9}{{(- 5)}^{2}}$

Étape 7.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.2.3.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$f' (- 5) = \frac{- 1 \cdot 9}{25}$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$f' (- 5) = \frac{- 9}{25}$

Étape 7.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 5) = - \frac{9}{25}$

Étape 7.2.4

La réponse finale est $- \frac{9}{25}$ .

$- \frac{9}{25}$

Étape 7.3

Sur $x = - 5$ la dérivée est $- \frac{9}{25}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- \infty, - 4)$ .

Diminue sur $(- \infty, - 4)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 8

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 4, 0)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = \frac{(4 - 2) (4 - (- 2))}{{(- 2)}^{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 8.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f' (- 2) = \frac{(4 - 2) (4 - (- 2))}{{(- 2)}^{2}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.2.1

Soustrayez $2$ de $4$ .

$f' (- 2) = \frac{2 (4 - (- 2))}{{(- 2)}^{2}}$

Étape 8.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{2 (4 + 2)}{{(- 2)}^{2}}$

Étape 8.2.2.3

Additionnez $4$ et $2$ .

$f' (- 2) = \frac{2 \cdot 6}{{(- 2)}^{2}}$

Étape 8.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.2.3.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2) = \frac{2 \cdot 6}{4}$

Étape 8.2.3.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$f' (- 2) = \frac{12}{4}$

Étape 8.2.3.3

Divisez $12$ par $4$ .

$f' (- 2) = 3$

Étape 8.2.4

La réponse finale est $3$ .

$3$

Étape 8.3

Sur $x = - 2$ la dérivée est $3$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- 4, 0)$ .

Augmente sur $(- 4, 0)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 9

Remplacez une valeur de l’intervalle $(0, 4)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = \frac{(4 + 2) (4 - (2))}{{(2)}^{2}}$

Étape 9.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 9.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f' (2) = \frac{(4 + 2) (4 - (2))}{{(2)}^{2}}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.2.1

Additionnez $4$ et $2$ .

$f' (2) = \frac{6 (4 - (2))}{2^{2}}$

Étape 9.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (2) = \frac{6 (4 - 2)}{2^{2}}$

Étape 9.2.2.3

Soustrayez $2$ de $4$ .

$f' (2) = \frac{6 \cdot 2}{2^{2}}$

Étape 9.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.2.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (2) = \frac{6 \cdot 2}{4}$

Étape 9.2.3.2

Multipliez $6$ par $2$ .

$f' (2) = \frac{12}{4}$

Étape 9.2.3.3

Divisez $12$ par $4$ .

$f' (2) = 3$

Étape 9.2.4

La réponse finale est $3$ .

$3$

Étape 9.3

Sur $x = 2$ la dérivée est $3$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(0, 4)$ .

Augmente sur $(0, 4)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 10

Remplacez une valeur de l’intervalle $(4, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 10.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f' (5) = \frac{(4 + 5) (4 - (5))}{{(5)}^{2}}$

Étape 10.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f' (5) = \frac{(4 + 5) (4 - (5))}{{(5)}^{2}}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.2.1

Additionnez $4$ et $5$ .

$f' (5) = \frac{9 (4 - (5))}{5^{2}}$

Étape 10.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f' (5) = \frac{9 (4 - 5)}{5^{2}}$

Étape 10.2.2.3

Soustrayez $5$ de $4$ .

$f' (5) = \frac{9 \cdot - 1}{5^{2}}$

Étape 10.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.2.3.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f' (5) = \frac{9 \cdot - 1}{25}$

Étape 10.2.3.2

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$f' (5) = \frac{- 9}{25}$

Étape 10.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (5) = - \frac{9}{25}$

Étape 10.2.4

La réponse finale est $- \frac{9}{25}$ .

$- \frac{9}{25}$

Étape 10.3

Sur $x = 5$ la dérivée est $- \frac{9}{25}$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(4, \infty)$ .

Diminue sur $(4, \infty)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 11

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- 4, 0), (0, 4)$

Diminue sur : $(- \infty, - 4), (4, \infty)$

Étape 12