Calcul infinitésimal Exemples

$y = \tan (15 x e^{x})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 15 x e^{x}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $15 x e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [15 x e^{x}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [15 x e^{x}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $15 x e^{x}$ .

$\sec^{2} (15 x e^{x}) \frac{d}{d x} [15 x e^{x}]$

Étape 2

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15 x e^{x}$ par rapport à $x$ est $15 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$\sec^{2} (15 x e^{x}) (15 \frac{d}{d x} [x e^{x}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$\sec^{2} (15 x e^{x}) (15 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\sec^{2} (15 x e^{x}) (15 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 5.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sec^{2} (15 x e^{x}) (15 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1))$

Étape 5.2

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$\sec^{2} (15 x e^{x}) (15 (x e^{x} + e^{x}))$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sec^{2} (15 x e^{x}) (15 (x e^{x}) + 15 e^{x})$

Étape 6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\sec^{2} (15 x e^{x}) (15 e^{x} x + 15 e^{x})$

Étape 6.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $15 e^{x} x + 15 e^{x}$ .

$\sec^{2} (15 x e^{x}) (15 x e^{x} + 15 e^{x})$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sec^{2} (15 x e^{x}) (15 x e^{x}) + \sec^{2} (15 x e^{x}) (15 e^{x})$

Étape 7.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$15 e^{x} x \sec^{2} (15 x e^{x}) + 15 e^{x} \sec^{2} (15 x e^{x})$