Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{6 + \sec (π x^{2})}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6 + \sec (π x^{2})}$ comme ${(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 6 + \sec (π x^{2})$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $6 + \sec (π x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $6 + \sec (π x^{2})$ .

$\frac{1}{2} {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

Étape 7

Différenciez.

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(6 + \sec (π x^{2}))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

Étape 7.2

Associez les fractions.

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Étape 7.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(6 + \sec (π x^{2}))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(6 + \sec (π x^{2}))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

Étape 7.2.2

Placez ${(6 + \sec (π x^{2}))}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 + \sec (π x^{2})]$

Étape 7.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 + \sec (π x^{2})$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [\sec (π x^{2})]$ .

$\frac{1}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [\sec (π x^{2})])$

Étape 7.4

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [\sec (π x^{2})])$

Étape 7.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [\sec (π x^{2})]$ .

$\frac{1}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sec (π x^{2})]$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = π x^{2}$ .

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Étape 8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $π x^{2}$ .

$\frac{1}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x^{2}])$

Étape 8.2

La dérivée de $\sec (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x^{2}])$

Étape 8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $π x^{2}$ .

$\frac{1}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} (\sec (π x^{2}) \tan (π x^{2}) \frac{d}{d x} [π x^{2}])$

Étape 9

Différenciez.

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Étape 9.1

Associez $\sec (π x^{2})$ et $\frac{1}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sec (π x^{2})}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} (\tan (π x^{2}) \frac{d}{d x} [π x^{2}])$

Étape 9.2

Associez $\tan (π x^{2})$ et $\frac{\sec (π x^{2})}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\tan (π x^{2}) \sec (π x^{2})}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [π x^{2}]$

Étape 9.3

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π x^{2}$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\tan (π x^{2}) \sec (π x^{2})}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} (π \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 9.4

Associez $π$ et $\frac{\tan (π x^{2}) \sec (π x^{2})}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{π (\tan (π x^{2}) \sec (π x^{2}))}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 9.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{π \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2})}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Étape 9.6

Simplifiez les termes.

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Étape 9.6.1

Associez $2$ et $\frac{π \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2})}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 (π \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2}))}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}} x$

Étape 9.6.2

Associez $\frac{2 (π \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2}))}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{2 (π \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2})) x}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.6.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2}) x}{2 {(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 9.6.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{π \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2}) x}{{(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $π \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2}) x$ .

$\frac{π x \tan (π x^{2}) \sec (π x^{2})}{{(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 10.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{π x \sec (π x^{2}) \tan (π x^{2})}{{(6 + \sec (π x^{2}))}^{\frac{1}{2}}}$